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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.3 - Ex. 9

Derive.

y = x 2 - t g   x

Passo 1

Falaee, belezinha??? Bom... queremos derivar a seguinte função:

y = x 2 - t g   x

Para isso, a gente sabe que a derivada da tangente é dada da seguinte forma:

tan ⁡ u ' = sec 2 ⁡ u

Além disso, a gente vai precisar aplicar a regra do quociente, que é dada por:

u v ' = u ' v - u v ' v 2

Onde   u   e   v são funções diferenciáveis.

E aí?? Bora lá aplicar?? 😉

Passo 2

Para resolver a derivada da função y = x 2 - t g   x

Usaremos a regra do quociente e a regra da cadeia. Vamos começar!

Primeiro, expressamos a função y como y = x 2 - tan ⁡ x

Agora, aplicamos a regra do quociente:

y ' = 2 - tan ⁡ x ⋅ d d x x - x ⋅ d d x 2 - tan ⁡ x 2 - tan ⁡ x 2

Agora, precisamos calcular as derivadas dos termos individuais. A derivada de x em relação a x é simplesmente 1.

Para o segundo termo, aplicamos a regra da cadeia:

d d x 2 - tan ⁡ x = d d x 2 - d d x tan ⁡ x = 0 - sec 2 ⁡ ( x )

Agora, substituímos essas derivadas de volta na nossa expressão para y ' :

y ' = 2 - tan ⁡ x ⋅ 1 - x ⋅ - sec 2 ⁡ x 2 - tan ⁡ x 2

Passo 3

Vamos simplificar a expressão da derivada y ' que encontramos anteriormente.

y ' = 2 - tan ⁡ x ⋅ 1 - x ⋅ - sec 2 ⁡ x 2 - tan ⁡ x 2

Agora, vamos simplificar o numerador:

y ' = 2 - tan ⁡ x + x ⋅ sec 2 ⁡ x 2 - tan ⁡ x 2

Para simplificar o denominador, podemos expandir 2 - tan ⁡ x 2 usando a fórmula do quadrado de um binômio:

2 - tan ⁡ x 2 = 2 - tan ⁡ x - 2 - tan ⁡ x

=   4   -   2 t a n x -   2 t a n x + tan 2 ⁡ ( x )

= 4 - 4 tan ⁡ x + tan 2 ⁡ ( x )

Substituindo o denominador simplificado na expressão de y ' temos:

y ' = 2 - tan ⁡ x + x ⋅ sec 2 ⁡ x 4 - 4 tan ⁡ x + tan 2 ⁡ x

Simplificando

y ' = 2 + x ⋅ sec 2 ⁡ x - tan ⁡ x 2 - tan ⁡ x 2

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

y ' = 2 + x ⋅ sec 2 ⁡ x - tan ⁡ x 2 - tan ⁡ x 2

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Considere a função y = x t 3 , onde x = x ( t ) é uma função derivável. Calcule d y d t t = 2 sabendo que d x d t t = 2 = 3 e que x 2 = 1 (isto é, x = 1 para t = 2 ).
Calcule a derivada.f) x = t^3 e^t
Calcule a derivada.h) y = (x^3 + 1)/(sen x)
Calcule a derivadaj) x = (3)/(t) + 2 // t^2
Seja y = t 2 x , onde x = x ( t ) é uma função derivável. Calcule d y d t t = 1 supondo d x d t t = 1 = 2 e x = 3 para t = 1 (isto é, x 1 = 3 ).