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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 2.5 - Ex. 46

Use o Teorema do valor intermediário para provar que existe um número c positivo tal que seu quadrado é igual c 2 = 2 .

(Isso prova a existência do número 2 )

Passo 1

Opa, bora lá! Aqui devemos usar o o Teorema do valor intermediário para demosntrar que:

c 2 = 2

Onde c é um número positivo real!

Pelo Teorema do Valor intermediário, temos que se f é contínua, num intervalo fechado e temos um valor N , entre f ( a ) e f ( b ) , onde f ( a ) ≠ f ( b ) . Então existe um número c no intervalo a , b tal que f ( c ) = N

Ficou complicado?

Vamos facilitar no passo 2.

Passo 2

Vamos admitir f ( x ) = x 2 , que é contínua em todo o seu domínio.

Nosso objetivo então é descobrir dois valores de f ( x ) tais que o 2 esteja entre eles:

f ( x ) =   x 2

Jogaremos valores aleatórios para x , até encontrarmos dois valores nos quais o 2 esteja entre eles:

f ( 1 ) = ( 1 ) 2 = 1

f ( 2 ) = ( 2 ) 2 = 4

Opa!

Passo 3

Quando x = 1 e x = 2 , temos dois valores em que o 2 está contido entre eles, como f ( x ) é contínua, podemos afirmar que existe um valor para o qual f ( x ) = 2 , e esse valor está entre 1,2

Resposta

Demonstração.

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Mostre que o teorema do valor intermediário garante que a equação x 3 + x + 3 = 0 tenha raiz entre - 2e - 1 .
Suponha que f seja uma função para a qual 0 ≤ f ( x ) ≤1 se 0 ≤ x ≤ 1. Prove que se f for contínua em [0, 1], existirá pelo menos um número c tal que f ( c ) = c . (Sugestão: se nem 0 e 1 servirem com
São dadas uma função f e um intervalo fechado a ,b . Determine se o teorema do valor intermediário se aplica para o valor de k dado. Se o teorema for aplicável, ache um número c tal que f c = k . Caso
Ache o maior valor de k para o qual a função definida por f x = x 2 - 2 é contínua no intervalo [ 3 ,3 + k ) .
Dada a função f definida por f x = g x , s e a ≤ xb h x ,s eb ≤ x ≤ c Se g for contínua em [ a ,b ) e h for contínua em [ b ,c ] , podemos concluir que f é contínua em [ a ,c ] ? Se sua resposta for s