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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 8.3 - Ex. 47

Demonstre a Fórmula 9 .

Passo 1

Bom galera, nesse exercício queremos demonstrar a fórmula 09 , que é a fórmula para encontrar as coordenadas do centroide de uma superfície. Para isso iremos utilizar a definição de integral.

Passo 2

A região que queremos encontrar se encontra entre duas curvas, que chamaremos de f ( x ) e g ( x ) . Os momentos M_x e M_y podem ser encontrados da seguinte maneira

M_y (R_i) = x_i rho [f (overset(-)(x_i)) - g (overset(-)(x_i))] Delta x

M_x (R_i) = (1)/(2) rho [f (overset(-)(x_i))^2 - g (overset(-)(x_i))^2] Delta x

Que é o produto da massa pelo i-ésimo centroide de um retângulo aproximável R_i .

Passo 3

Somando tudo e tomando o limite quando n -> oo , temos

M_y = underset(n -> oo)(lim) sum_i x_i rho [f (overset(-)(x_i)) - g (overset(-)(x_i))] Delta x = rho int_a^b x [f (x) - g (x)] d x

M_x = underset(n -> oo)(lim) sum_i (1)/(2) rho [f (overset(-)(x_i))^2 - g (overset(-)(x_i))^2] Delta x = (rho)/(2) int_a^b x [f (x)^2 - g (x)^2] d x

Temos então dessa forma a seguinte relação

overset(-)(x) = (M_y)/(rho A) = (rho)/(rho A) int_a^b x [f (x) - g (x)] d x

overset(-)(y) = (M_x)/(rho A) = (rho)/(2 rho A) int_a^b x [f (x)^2 - g (x)^2] d x

Resposta

overset(-)(x) = (1)/(A) int_a^b x [f (x) - g (x)] d x

overset(-)(y) = (1)/(2 A) int_a^b x [f (x)^2 - g (x)^2] d x

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