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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 8.3 - Ex. 48

Seja R a região que está entre as curvas y = x m e y = x n , 0 ≤ x ≤ 1 , ondem m e n são inteiros com 0 ≤ n < m .

a Esboce a região R .

b Encontre as coordenadas do centroide de R .

c Tente encontrar valores de m e n tais que o centroide esteja fora de R .

Passo 1

a Esboçando R , temos

Passo 2

b Podemos calcular a área da seguinte maneira

A = ∫ 0 1 x n - x m d x = 1 n + 1 - 1 m + 1 = m - n n + 1 m + 1

Podemos então calcular as coordenadas do centroide

x - = 1 A ∫ 0 1 x x n - x m d x = 1 A 1 n + 2 - 1 m + 2 = n + 1 m + 1 n + 2 m + 2

y - = 1 A ∫ 0 1 1 2 x n 2 - x m 2 d x = 1 2 A 1 2 n + 1 - 1 2 m + 1 = n + 1 m + 1 2 n + 2 2 m + 2

x - ,   y - = n + 1 m + 1 n + 2 m + 2 ,   n + 1 m + 1 2 n + 2 2 m + 2

Passo 3

Tomando n = 3 e m = 4 , temos

x - ,   y - = 3 + 1 4 + 1 3 + 2 4 + 2 ,   3 + 1 4 + 1 2 3 + 2 2 4 + 2 = 2 3 , 20 63

Como podemos ver, para tais valores se encontra fora da região.

Resposta

a

b

x - ,   y - = n + 1 m + 1 n + 2 m + 2 ,   n + 1 m + 1 2 n + 2 2 m + 2

c

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