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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.5 - Ex. 63

Demonstre a fórmula para d d x cos - 1 ⁡ x pelo mesmo método usado para d d x sin - 1 ⁡ x .

Passo 1

Bom galera, nessa questão queremos encontrar a fórmula para a derivada de cos - 1 ⁡ x . Para isso, utilizaremos a derivação implícita para desenvolver a fórmula.

Passo 2

Vamos chamar nossa função de y = cos - 1 ⁡ x . Dessa forma, sabemos que cos ⁡ y = x para 0 < y < π . Derivando ambos os lados da equação, temos

- s e n y y ' = 1

Isolando y ' , temos

y ' = - 1 s e n   y

Passo 3

Pela identidade fundamental da trigonometria, sabemos que

1 = c o s 2 x + s e n 2 x

Isolando s e n 2 x , temos

s e n 2 x = 1 - c o s 2 x

s e n   x = 1 - c o s 2 x

Para y , temos

s e n   y = 1 - c o s 2 y

Podemos reescrever então a expressão encontrada para y '

y ' = - 1 s e n   y = - 1 1 - c o s 2 y

Como havíamos estabelecido, cos ⁡ y = x , então temos

y ' = - 1 1 - x 2

Resposta

Como queremos provar, a derivada de y = cos - 1 ⁡ x é

y ' = - 1 1 - x 2

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Seja f x = cos ⁡ x . Calcule.a) f ' x b) f ' 0 c) f ' π 3 d) f ' - π 4
Prove D x c o s e c x =- c o s e c xc o t g x
Prove D x c o t g x =- c o s e c ² x ²
Nos exercícios de 3 a 16, ache a derivada da função dada 3 . f x = 3s e n ( x )
Nos exercícios de 3 a 16, ache a derivada da função dada. 4 . g x = s e n x + cos ⁡ x