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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 6.5 - Ex. 18

A velocidade v do sangue que circula em uma veia com raio R e comprimento l a uma distância r do eixo central é

v r = P 4 η l ( R 2 - r 2 )

Onde P é a diferença de pressão entre as extremidades da veia e η é a viscosidade do sangue (veja o Exemplo 7 da seção 3.7). Encontre a velocidade média (em relação a r ) ao longo do intervalo de 0 ≤ r < R .   Compara a velocidade média com a velocidade máxima.

Passo 1

O enunciado nos dá uma fórmula que modula a velocidade do sangue que circula em uma veia com raio R e comprimento l a uma distância r do eixo central:

v r = P 4 η l ( R 2 - r 2 )

Onde P é a diferença de pressão entre as extremidades da veia e η é a viscosidade do sangue.

O que temos que fazer aqui é encontrar a velocidade média em relação a r considerando o intervalo 0 ≤ r < R .

Por definição o valor médio de uma função f em um certo intervalo [ a , b ] é dado por:

f m e d = 1 b - a ∫ a b f x d x

Passo 2

Podemos aplicar o mesmo para a função da velocidade do sangue e assim a velocidade média dele será dada por:

v r m e d = 1 R - 0 ∫ 0 R P 4 η l R 2 - r 2 d r

v r m e d = P 4 η l R R 2 ∫ 0 R d r - ∫ 0 R r 2 d r ]    

v r m e d = P 4 η l   R R 2 R - R 3 3

v r m e d = P 4 η l R 2 R 3 3

v r m e d = P R 2 6 η l  

Passo 3

A velocidade máxima pode ser calculada encontrando o x do vértice já que a função da velocidade v ( r ) está em função de r e ele está em segundo grau, logo temos uma equação de segundo grau. Temos então que:

x v = - b 2 a = 0 ⇒ v 0 = P R 2 4 η l

Observamos que a velocidade média é menor do que a velocidade máxima , mas elas só se diferem pelo fator de divisão sendo da primeira 1 6   e da segunda 1 4 .

Resposta

v r m e d = P R 2 6 η l  

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