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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 15

Nos exercícios 1 a 35 , calcular a integral indefinida.

Passo 1

Aplicando o método da substituição simples com u = 1 - 2 θ e d u = - 2 d θ , tem-se:

I = ∫ s e n 3 u   c o s 3 u   d u - 2

Para resolver essa integral, algumas identidades trigonométricas devem ser lembradas. Neste caso, será usada a relação c o s 2 x = 1 - s e n 2 x que se usada na integral:

I = - 1 2 ∫ s e n 3 u   1 - s e n 2 u   c o s u   d u

Então:

I = - 1 2 ∫ s e n 3 u   c o s u d u - ∫ s e n 5 u   c o s u d u

Para ambas as integrais, deve-se utilizar o método da substituição, onde v = s e n u e d v = c o s u d u :

I = 1 2 ∫ v 5 d v - ∫ v 3 d v

Passo 2

Resolvendo as integrais:

I = 1 2 v 6 6 - v 4 4 + C

Como a integral é indefinida, deve-se adicionar uma constante arbitrária ao resultado da integral.

Passo 3

Retornando a variável original:

I = 1 2 s e n 6 1 - 2 θ 6 - s e n 4 1 - 2 θ 4 + C

Resposta

I = 1 2 s e n 6 1 - 2 θ 6 - s e n 4 1 - 2 θ 4 + C

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