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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 14

Nos exercícios 1 a 35 , calcular a integral indefinida.

Passo 1

Aplicando o método da substituição simples com u = 2 θ e d u = 2 d θ , tem-se:

I = ∫ s e n 3 u   c o s 4 u   d u 2

Para resolver essa integral, algumas identidades trigonométricas devem ser lembradas. Neste caso, será usada a relação s e n 2 x = 1 - c o s 2 x que se usada na integral:

I = 1 2 ∫ s e n u   1 - c o s 2 u   c o s 4 u   d u

Então:

I = 1 2 ∫ s e n u   c o s 4 u d u - ∫ s e n u   c o s 6 u d u

Para ambas as integrais, deve-se utilizar o método da substituição, onde v = c o s u e d v = - s e n u d u :

I = 1 2 ∫ v 4 - d v - ∫ v 6 - d v

Passo 2

Resolvendo as integrais:

I = 1 2 v 7 7 - v 5 5 + C

Como a integral é indefinida, deve-se adicionar uma constante arbitrária ao resultado da integral.

Passo 3

Retornando a variável original:

I = 1 2 c o s 7 2 θ 7 - c o s 5 2 θ 5 + C

Resposta

I = 1 2 c o s 7 2 θ 7 - c o s 5 2 θ 5 + C

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