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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 12

Nos exercícios 1 a 35 , calcular a integral indefinida.

Passo 1

Aplicando o método da substituição simples com u = x 2 - 1 e d u = 2 x d x , tem-se:

I = ∫ s e n 4 u   d u

Para resolver essa integral, algumas identidades trigonométricas devem ser lembradas. Neste caso, será usada a relação s e n 2 x = 1 - c o s 2 x que se usada na integral:

I = ∫ 1 - c o s 2 u 2 d u = ∫ 1 - 2 c o s 2 u + cos 4 ⁡ u d u

Lembrando que:

c o s 2 n x = 1 + cos ⁡ 2 n x 2

Então:

I = ∫ 1 d u - 2 ∫ 1 + cos ⁡ 2 u 2 d u + ∫ 1 + cos ⁡ 2 u 2 2 d u

I = ∫ 1 d u - 2 ∫ 1 + cos ⁡ 2 u 2 d u + ∫ 1 + cos ⁡ 2 u 2 2 d u

Separando os termos:

I = ∫ 1 d u - ∫ 1 d u - ∫ cos ⁡ 2 u   d u + ∫ 1 4 d u + ∫ 1 2 cos ⁡ 2 u d u + ∫ 1 4 c o s 2 2 u   d u

Unindo os termos semelhantes:

I = ∫ 1 4 d u - 1 2 ∫ cos ⁡ 2 u d u + 1 4 ∫ 1 + cos ⁡ 4 u 2 d u

I = ∫ 1 4 d u - 1 2 ∫ cos ⁡ 2 u d u + 1 8 ∫ d u + ∫ cos ⁡ 4 u d u

I = 3 8 ∫ d u - 1 2 ∫ cos ⁡ 2 u d u + 1 8 ∫ cos ⁡ 4 u d u

Passo 2

Resolvendo as integrais:

I = 3 8 u - 1 2 s e n 2 u 2 + 1 8 s e n 4 u 4 + C

Como a integral é indefinida, deve-se adicionar uma constante arbitrária ao resultado da integral.

Passo 3

Retornando a variável original:

I = 3 8 x 2 - 1 - 1 4 s e n 2 x 2 - 1 + 1 32 s e n 4 x 2 - 1 + C

Resposta

3 8 x 2 - 1 - 1 4 s e n 2 x 2 - 1 + 1 32 s e n 4 x 2 - 1 + C

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