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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 11

Nos exercícios 1 a 35 , calcular a integral indefinida.

Passo 1

Aplicando o método da substituição simples com u = 3 - 3 x e d u = - 3 d x , tem-se:

I = ∫ cos 5 ⁡ u - d u 3 = - 1 3 ∫ cos 5 ⁡ u d u

Para resolver essa integral, algumas identidades trigonométricas devem ser lembradas. Neste caso, será usada a relação c o s 2 x = 1 - s e n 2 x que se usada na integral:

I = - 1 3 ∫ c o s u 1 - s e n 2 u 2 d u = - 1 3 ∫ c o s u - 2 c o s u   s e n 2 u + c o s u   s e n 4 u d u

I = - 1 3 ∫ c o s u d u - 2 ∫ c o s u   s e n 2 u d u + ∫ c o s u   s e n 4 u d u

A primeira integral pode ser resolvida diretamente. Já a segunda e a terceira requerem o uso da substituição simples. Fazendo v = s e n u e d v = c o s u d u :

I = - 1 3 v + C - 2 ∫ v 2 d v + ∫ v 4 d v

I = - 1 3 v - 2 v 3 3 + v 5 5 + C

Como a integral é indefinida, deve-se adicionar uma constante arbitrária ao resultado da integral.

Passo 2

Retornando a variável original:

I = - 1 3 s e n 3 - 3 x - 2 s e n 3 3 - 3 x 3 + s e n 5 3 - 3 x 5 + C

Resposta

- 1 3 s e n 3 - 3 x - 2 s e n 3 3 - 3 x 3 + s e n 5 3 - 3 x 5 + C

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