A função aceleração (em m/s) e a velocidade inicial são dadas para uma partícula movendo-se ao longo de uma reta. Encontre (a) a velocidade no instante e (b) a distância pecorrida durante o intervalo de tempo dado.

, ,

Vamos lá, queremos a velocidade, devemos lembrar que a velocidade é encontrada integrando a função aceleração, e como foi pedida no instante , vamos calcular a integral indefinida:

Agora é fácil achar as primitivas de cada função, usando três expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

Agora é só aplicar, vamos resolver elas separadamente, assim fica mais simples de ver:

Agora é só juntar:

Agora temos que descobrir o valo da constante , mas veja bem, nós temos , então é só subsitiuir na expressão da velocidade e achamos :

Pronto, ficamos então com a expressão da velocidade assim:

m/s

Para calcular a distância pecorrida pela partícula devemos resolver a integral da função velocidade, mas com a função em módulo. Para avaliar o módulo, fica mais fácil se fatorarmos a função.

Para isso, devemos encontrar suas raízes que são e , dessa forma podemos reescrever a função como:

Ixiii, temos um módulo alí na função, mas calma, só precisamos analisar esse módulo e vai da tudo certo. Veja bem, o que temos que fazer é separar essa integral, para isso vamos usar a seguinte propriedade, que combina integrais da mesma função em intervalos adjacentes:

Devemos lembrar como se comporta a função módulo:

Pronto, vamos usar!!

Vemos que a função é negativa quando , vamos então usar o limite de integração de a 1 com a função

e ela é positiva quando , vamos então usar o limite de integração de a com a função

Dessa forma, teremos:

Viu? Agora fica simples de resolver, vamos fazer separademente, para não confundir:

E

Juntando: