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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.5 - Ex. 19

Encontre a derivada da função dada:

f (x) = senh^(- 1) tg x

Passo 1

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia. E lembrar qual a derivada de senh^(- 1)

(senh^(- 1) x)^' = (1)/(sqrt(x^2 + 1))

Vamos fazer

f (x) = g (h (x))

Com

g (x) = senh^(- 1) x

h (x) = tg x

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

f^' (x) = g^' (h (x)) h^' (x)

Temos

g^' (x) = (1)/(sqrt(x^2 + 1))

Que é a derivada de senh^(- 1)

Então

f^' (x) = (1)/(sqrt((h (x))^2 + 1)) h^' (x)

Passo 2

Vamos finalizar achando a derivada de h (x)

h (x) = tg x -> h^' (x) = sec^2 x

Vamos ter

f^' (x) = (1)/(sqrt((tg x)^2 + 1)) . sec^2 x

f^' (x) = (sec^2 x)/(sqrt(tg^2 x + 1))

Lembrando que

tg^2 x + 1 = sec^2 x

Vamos ter

f^' (x) = (sec^2 x)/(sqrt(sec^2 x))

Vamos tirar aquela secante da raiz, mas precisamos lembrar que

sqrt(x^2) = |x|

Então

sqrt(sec^2 x) = |sec x|

Além disso:

sec^2 x = |sec x|^2

Assim, vamos encontrar

f^' (x) = (|sec x|^2)/(|sec x|) = |sec x|

Resposta

f^' (x) = |sec x|

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