Demonstre que o c o s s e n o é uma função contínua.

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... a questão é bem direta.

Queremos demonstrar que o cosseno é uma função contínua.

Mas o que é uma função contínua??

Então... uma função é considerada contínua em um determinado ponto se não houver descontinuidades nesse ponto (essas descontinuidades podem ser saltos, infinito, etc).

Assim, para provarmos que o cosseno é uma função contínua, temos que saber da seguinte identidade trigonométrica:

cos ⁡ a + b = cos ⁡ a cos ⁡ b -   s e n ( a ) s e n ( b )

Lembre-se também que a definição, que diz:

lim h → 0 ⁡ cos ⁡ a + h = cos ⁡ a

Caso o limite seja verdadeiro, então a função c o s s e n o é contínua.

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

Aplicando a identidade trigonométrica no limite (fazendo b = h ), temos:

lim h → 0 ⁡ cos ⁡ a + h = lim h → 0 ⁡ cos ⁡ a cos ⁡ h - lim h → 0 ⁡ s e n a s e n h

Podemos então desenvolver o limite para:

lim h → 0 ⁡ cos ⁡ a + h = lim h → 0 ⁡ cos ⁡ a l i m h → 0 cos ⁡ h - lim h → 0 ⁡ s e n a l i m h → 0   s e n h

Passo 3

Aplicando o limite, temos:

lim h → 0 ⁡ cos ⁡ a + h = lim h → 0 ⁡ cos ⁡ a * 1 - lim h → 0 ⁡ s e n a * 0 ∴

lim h → 0 ⁡ cos ⁡ a + h = cos ⁡ a -   0

Resposta

Dessa forma, provamos que a função c o s s e n o é uma função contínua utilizando a relação

cos ⁡ a + b = cos ⁡ a cos ⁡ b -   s e n ( a ) s e n ( b )

E o limite

lim h → 0 ⁡ cos ⁡ a + h = cos ⁡ a

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