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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.5 - Ex. 28

Demonstre a identidade, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas. Se f for um campo escalar e F → e G → forem campos vetoriais, então f F → , F → ⋅ G → e F → × G → serão definidos como:

f F → x , y , z = f x , y , z F → x , y , z

( F → ⋅ G → ) x , y , z = F → x , y , z ⋅ G → ( x , y , z )

( F → × G → ) x , y , z = F → x , y , z × G → ( x , y , z )

d i v   ∇ f × ∇ g = 0

Passo 1

Oi, oi, galera, tudo bem?

A questão pede pra gente demonstrar a divergência do produto vetorial dos gradientes de:

d i v   ∇ f × ∇ g = 0

Onde a questão também nos dá várias informações sobre o campo escalar f e os campos vetoriais F → e G → :

f F → x , y , z = f x , y , z F → x , y , z

( F → ⋅ G → ) x , y , z = F → x , y , z ⋅ G → ( x , y , z )

( F → × G → ) x , y , z = F → x , y , z × G → ( x , y , z )

Para demonstrar essas identidades, vamos relembrar como é o gradiente ( ∇ ) de uma função escalar a :

∇ a = ∂ a ∂ x i → + ∂ a ∂ y j → + ∂ a ∂ z k →

Ou seja, o somatório das derivadas parciais em cada eixo.

Vamos ver agora o que o divergente ( d i v ) de um vetor faz. O operador nabla ( ∇ ) , quando está com produto escalar com um vetor qualquer   v → ( a , b , c ) opera assim, ó:

∇ ⋅ v →

∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ⋅ a , b , c

∂ ∂ x a + ∂ ∂ y b + ∂ ∂ z c

Lembrando que a derivada parcial é aquela que as outras variáveis contam como constante na hora da derivação!

Passo 2

Agora vamos calcular o produto vetorial ∇ f × ∇ g :

∇ f × ∇ g = i → j → k → ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y ∂ f ∂ z ∂ g ∂ x ∂ g ∂ y ∂ g ∂ z

i → ∂ f ∂ y ⋅ ∂ g ∂ z - ∂ f ∂ z ⋅ ∂ g ∂ y + j → ∂ f ∂ z ⋅ ∂ g ∂ x - ∂ f ∂ x ⋅ ∂ g ∂ z + k → ∂ f ∂ x ⋅ ∂ g ∂ y - ∂ f ∂ y ⋅ ∂ g ∂ x

Agora vamos aplicar o divergente nesse vetor que acabamos de calcular:

∇ ⋅ ∇ f × ∇ g

∂ ∂ x ∂ f ∂ y . ∂ g ∂ z - ∂ f ∂ z . ∂ g ∂ y + ∂ ∂ y ∂ f ∂ z . ∂ g ∂ x - ∂ f ∂ x . ∂ g ∂ z + ∂ ∂ z ∂ f ∂ x . ∂ g ∂ y - ∂ f ∂ y . ∂ g ∂ x

E como se não bastasse esse monte de coisa, ainda vamos aplicar a regra do produto nas derivadas parciais! Mas não te desespera! Tudo vai dar certo no final! É só ir com calma e fazer todos os passos direitinho =)

Passo 3

Aqui já vou adiantar uma propriedade das derivadas parciais mistas: elas independem da ordem de derivação! Ou seja:

  ∂ 2 a ∂ x ∂ y = ∂ 2 a ∂ y ∂ x

Bora fazer as derivadas?

∇ ⋅ ∇ f × ∇ g

∂ 2 f ∂ x ∂ y ⋅ ∂ g ∂ z + ∂ f ∂ y ⋅ ∂ 2 g ∂ x ∂ z - ∂ 2 f ∂ x ∂ z ⋅ ∂ g ∂ y - ∂ f ∂ z ⋅ ∂ 2 g ∂ x ∂ y

+ ∂ 2 f ∂ y ∂ z ⋅ ∂ g ∂ x + ∂ f ∂ z ⋅ ∂ 2 g ∂ y ∂ x - ∂ 2 f ∂ x ∂ y ⋅ ∂ g ∂ z - ∂ f ∂ x ⋅ ∂ 2 g ∂ z ∂ y

+ ∂ 2 f ∂ z ∂ x ⋅ ∂ g ∂ y + ∂ f ∂ x ⋅ ∂ 2 g ∂ z ∂ y - ∂ 2 f ∂ z ∂ y ⋅ ∂ g ∂ x - ∂ f ∂ y ⋅ ∂ 2 g ∂ x ∂ z

Agora vamos por partes. Enumerando os termos dentro dos colchetes do lado direito da equação de 1 a 12 , da esquerda para a direita, e levando em conta que as derivadas parciais mistas são iguais, os seguintes termos se cancelam:

1   e   7

2   e   12

5   e   11

6   e   4

9   e   3

10   e   8

Não sobrou nenhum! Então o resultado disso fica:

∇ ⋅ ∇ f × ∇ g = 0

Pronto, exatamente a propriedade que queríamos demonstrar =D

Resposta

∇ ⋅ ∇ f × ∇ g = 0

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Calcule o rotacional.vec F (x , y , z) = x vec i + y vec j + x z vec k
Calcule o rotacional.vec F (x , y , z) = - y vec i + x vec j + z vec k
Seja φ :Ω ⊂ R 2 → R , Ω aberto, de classe C 2 . Verifique que o campo vetorial F → =∇ φ é irrotacional.
Calcule o rotacional.vec F (x , y , z) = (x^2 + y^2) vec i