Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.5 - Ex. 28
Demonstre a identidade, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas. Se for um campo escalar e e forem campos vetoriais, então , e serão definidos como:
Passo 1
Oi, oi, galera, tudo bem?
A questão pede pra gente demonstrar a divergência do produto vetorial dos gradientes de:
Onde a questão também nos dá várias informações sobre o campo escalar e os campos vetoriais e :
Para demonstrar essas identidades, vamos relembrar como é o gradiente de uma função escalar :
Ou seja, o somatório das derivadas parciais em cada eixo.
Vamos ver agora o que o divergente () de um vetor faz. O operador nabla (, quando está com produto escalar com um vetor qualquer opera assim, ó:
Lembrando que a derivada parcial é aquela que as outras variáveis contam como constante na hora da derivação!
Passo 2
Agora vamos calcular o produto vetorial :
Agora vamos aplicar o divergente nesse vetor que acabamos de calcular:
E como se não bastasse esse monte de coisa, ainda vamos aplicar a regra do produto nas derivadas parciais! Mas não te desespera! Tudo vai dar certo no final! É só ir com calma e fazer todos os passos direitinho =)
Passo 3
Aqui já vou adiantar uma propriedade das derivadas parciais mistas: elas independem da ordem de derivação! Ou seja:
Bora fazer as derivadas?
Agora vamos por partes. Enumerando os termos dentro dos colchetes do lado direito da equação de a , da esquerda para a direita, e levando em conta que as derivadas parciais mistas são iguais, os seguintes termos se cancelam:
Não sobrou nenhum! Então o resultado disso fica:
Pronto, exatamente a propriedade que queríamos demonstrar =D