Use a primeira identidade de Green para mostrar que se f for harmônica em D , e se f x , y = 0 na curva fronteira C , então ∫   ∫ D ∇ f 2 d A = 0 . (Suponha que são válidas as mesmas hipóteses do exercício 33 ).

Passo 1

E aê, pessoal, tudo belezal?

A questão pede pra gente usar a primeira identidade de Green para demonstrar que:

∫ ∫ D ∇ f 2 d A = 0

Isso é, se f for harmônica em D , e se, na curva fronteira C :

f x , y = 0

Iremos usar as mesmas hipóteses do exercício 33 , belê?

Partindo da primeira identidade de Green, temos:

∬ D f ∇ 2 g d A = ∮ C f ∇ g ⋅ n → d S - ∬ D ( ∇ f ⋅ ∇ g ) d A

Vamos substituir

f = g

Assim, teremos

∬ D f ∇ 2 f d A = ∮ C f ∇ f ⋅ n → d S - ∬ D ( ∇ f ⋅ ∇ f ) d A

Passo 2

Sabemos que f é harmônica, e que

∇ 2 f = 0

Também temos que, na fronteira,

f x , y = 0

E seu gradiente será:

∇ f = 0

Assim a expressão final do passo 1 ficará:

∬ D f ∇ 2 f d A = ∮ C f ∇ f ⋅ n → d S ⏟ 0 - ∬ D ( ∇ f ⋅ ∇ f ) d A

∬ D ( ∇ f ⋅ ∇ f ) d A = 0

Como temos uma propriedade de potenciação:

∇ f ⋅ ∇ f = ∇ f 2

Assim, demonstramos que

∬ D ( ∇ f 2 ) d A = 0

Show de bola! 😊

Resposta

∬ D ( ∇ f 2 ) d A = 0

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