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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 1.2 - Ex. 10 - c

10) Sejam V (x, y) = x2 + y2 e (x, y) = P (x, y) + Q (x, y) , com P e Q contínuas em ℝ2, tais que, para todo ( x ,   y )   ≠   0 ,   0 ,     ∇   V   x ,   y ⋅ F x , y < 0 .     Seja γ t = x t ,   y t ≠ 0,0 ,   t ≥ 0 talque γ ' t = F γ t

c )   Utilizando a última desigualdade do item b e observando que M

Passo 1

A deisguardade em questão é

V γ t - V γ 0 ≤ M t

Ou seja podemos escrever como

g t - g 0 ≤ M t

E Sabemos pelo item b que

M < 0

Logo se aplicarmos um limite nessa equação para t muito grande

lim t → ∞ ⁡ g t - g ( 0 ) ≤ lim t → ∞ ⁡ M t

g ∞ - g 0 ≤ - ∞

O que é uma impossibilidade porque

g x , y = V   x ,   y =   x 2   +   y 2

OU seja g são círculos, e não existe círculo de raio menor que 0, muito menos - ∞

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função f tal que F → = ∇ f . F → x , y , z = e y zi ^ + x z e y zj ^ + x y e y zk ^
Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial. F → x , y , z = x y e zi ^ + y z e xk ^
Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função f tal que F → = ∇ f . F → x , y , z = e x sen ⁡ y z i ^ + z e x cos ⁡ y z j ^ + y e x cos ⁡ y z k ^
Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial. F → x , y , z = x y , y z , z x
Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial. F → x , y = e x sen ⁡ y , e y sen ⁡ z , e z sen ⁡ x