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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 1.2 - Ex. 8

8 ) Seja V   ( x ,   y )   =   x 2   +   y 2 . Desenhe um campo F(x, y) para o qual setenha ∇   V   ( x ,   y ) ·   F ( x ,   y )   ≤   0 .

Passo 1

Antes de começar tenho que dizer que essa questão não envolve uma única resposta. E que sim haverá manipulação algébrica. O enunciado nos impõe que

∇   V   ( x ,   y ) ·   F ( x ,   y )   ≤   0

Sendo

V   x ,   y =   x 2   +   y 2

Logo a primeira coisa afazer é calcular Grad de V

Passo 2

∇   V   x ,   y = (   2 x , 2 y )

De forma genérica podemos pensar em F como

F x , y = a , b

Assim

∇   V   ( x ,   y ) ·   F ( x ,   y )   ≤   0

  2 x , 2 y ⋅ a , b   ≤   0

2 x a + 2 y b ≤ 0

x a + y b ≤ 0

- x a y   ≤   b

Seja a ∈ R   e y ≠ 0

OU seja nosso F seria

F ( x , y ) = a , - x a y  

Passo 3

Essa solução resolve nosso problema de forma geral. Agora para uma solução pratica, afinal precisamos escolher uma única solução para nossa resposta, podemos pensar em F como

F x , y = - 1 x ,   - 1 y

Assim o produto vetorial fica

2 x , 2 y   ⋅ - 1 x ,   - 1 y  

= - 2 - 2 → - 4

Como

- 4 < 0

Isso satisfaz nosso problema. Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

F x , y = - 1 x ,   - 1 y

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