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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 1.2 - Ex. 10e

10) Sejam V (x, y) = x2 + y2 e (x, y) = P (x, y) + Q (x, y) , com P e Q contínuas em ℝ2, tais que, para todo ( x ,   y )   ≠   0 ,   0 ,     ∇   V   x ,   y ⋅ F x , y < 0 .     Seja γ t = x t ,   y t ≠ 0,0 ,   t ≥ 0 talque γ ' t = F γ t

e )   Prove que lim t → ∞ ⁡ γ   t = ( 0,0 )     Interprete geometricamente

Passo 1

Visto que sabemos do exercícios anteriores que

g γ t = V x , y = x 2 + y 2

E que

lim t → ∞ ⁡ g γ t = lim t → ∞ ⁡ V   ( γ   ( t ) )   = 0

Isso implicar que

lim t → ∞ ⁡ x 2   γ   t +   y 2   ( γ   ( t ) )   = 0

E como temos a soma de dois escalares quadráticos, esse limite so pode ser zero se e somente se

lim t → ∞ ⁡ x 2   γ   t   = 0

E

lim t → ∞ ⁡   y 2   ( γ   ( t ) )   = 0

E isso so é possivel se

lim t → ∞ ⁡   ( γ   ( t ) )   = 0,0

Assim

V x , y = x 2 + y 2 = 0 + 0 = 0

Passo 2

A interpretação disso é que estamos trabalhando com uma função circular e que ela tende a fazer raios cada vez menores até que no infinito degenere num ponto 0,0 .

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Calcule o rotacional. F → x , y , z = x y i → - x 2 j →
Considere o campo de força central g → x , y = f r → r → onde f :R → R é uma função derivável e r → = x i → + y j → . Calcule r o tg → .
Considere o escoamento v → x , y =- y ( x 2 + y 2 ) α i → + x ( x 2 + y 2 ) α j → Onde α0 é uma constante. Verifique que r o tv → x , y ≠ 0 → para α ≠ 1 .
Considere o escoamento bidimensional v → x , y =- y x 2 + y 2 i → + x x 2 + y 2 j → .Desenhe tal campo.Calcule r o tv → e interprete-o.
Seja F → = P i → + Q j → uma campo vetorial de R 2e mR 2 , com PeQ diferenciáveis. Sejam u → = cos ⁡ αi → + s e nαj → e v → = - s e nα i → + cos ⁡ αj → , onde α ≠ 0 é um real dado. Seja s , t as coord