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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 6.7 - Ex. 3a

Caso exista encontre uma função potencial para V (x , y) = (2 x y^3 - y^2 cos x , 1 - 2 y sin x + 3 x^2 y^2) .

Passo 1

Para a gente verificar se a função V (x , y) admite uma função potencial, devemos inicialmente calcular

(del V_2)/(del x) - (del V_1)/(del y)

onde V_1 = 2 x y^3 - y^2 cos x e V_2 = 1 - 2 y sin x + 3 x^2 y^2 . Se o resultado desse cálculo for igual a zero, então a função V (x , y) admitirá uma função potencial!!

Passo 2

Vamos então fazer o cálculo das derivadas:

(del V_2)/(del x) = (del)/(del x) (1 - 2 y sin x + 3 x^2 y^2) (del V_2)/(del x) = - 2 y cos x + 6 x y^2

(del V_1)/(del y) = (del)/(del y) (2 x y^3 - y^2 cos x) (del V_1)/(del y) = 6 x y^2 - 2 y cos x

Logo, vemos que

(del V_2)/(del x) - (del V_1)/(del y) = 0

ou seja, a função admite uma função potencial phi (x , y) tal que grad phi = (V_1 , V_2) . Ou seja,

{[[(del phi)/(del x) = V_1 = 2 x y^3 - y^2 cos x],[(del phi)/(del y) = 1 - 2 y sin x + 3 x^2 y^2]])

Passo 3

Integrando a primeira equação do sistema, em relação a x , temos

phi (x , y) = int (2 x y^3 - y^2 cos x) d x = x^2 y^3 - y^2 sin x + U (y) phi (x , y) = x^2 y^3 - y^2 sin x + U (y)

onde U (y) é uma “constante” que depende apenas de y . Derivando a expressão acima em relação a y , e usando a segunda equação do nosso sistema:

(del phi)/(del y) = 3 x^2 y^2 - 2 y sin x + U^' (y) 1 - 2 y sin x + 3 x^2 y^2 = U^' (y) U^' (y) = 1 U (y) = int 1 d y = y

(aqui a gente considera a constante de integração igual a 0 , pois ela não faz diferença nenhuma). Logo,

phi (x , y) = x^2 y^3 - y^2 sin x + y

Resposta

phi (x , y) = x^2 y^3 - y^2 sin x + y

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