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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 6.7 - Ex. 1b

Considere a integral de linha ∫ C y 2 - x y d x + k x 2 - 4 x y d y .

b) Calcule o valor da integral de A = 0,0 a B = 1,1 para o valor de k encontrado em a).

Passo 1

No item a), encontramos que k = - 1 2 faz com que a integral seja independente do caminho. Sendo assim, podemos ligar os pontos A e B por qualquer caminho que o resultado da integral será sempre o mesmo.

Em particular, podemos pegar o caminho mais simples que é a reta ligando A e B ,

γ t = t ,   t ,   0 ≤ t ≤ 1

Passo 2

Dessa maneira, segue que

∫ C y 2 - x y   d x - 1 2 x 2 - 4 x y   d y = ∫ 0 1 F γ t ⋅ γ ' t   d t

onde F x , y = y 2 - x y ,   - 1 2 x 2 + 2 x y . Assim, com x = t e y = t , temos:

F γ t = t 2 - t 2 ,   - 1 2 t 2 + 2 t 2 = 0 , 3 2 t 2

Passo 3

Portanto,

∫ C y 2 - x y   d x - 1 2 x 2 - 4 x y   d y = ∫ 0 1 0 , 3 2 t 2 ⋅ 1,1   d t ∫ C y 2 - x y   d x - 1 2 x 2 - 4 x y   d y = ∫ 0 1 3 2 t 2   d t ∫ C y 2 - x y   d x - 1 2 x 2 - 4 x y   d y = 1 2 t 3 0 1 = 1 2

Resposta

∫ C y 2 - x y   d x - 1 2 x 2 - 4 x y   d y = 1 2 .

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