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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.5 - Ex. 5

Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial.

F x , y , z = 1 x 2 + y 2 + z 2 x   i + y   j + z   k

Passo 1

  1. O rotacional é dado como produto vetorial entre o operador

    2. ∇ = i ∂ ∂ x + j ∂ ∂ y + k ∂ ∂ z

    e o campo vetorial, então

    r o t   F = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z x x 2 + y 2 + z 2 y x 2 + y 2 + z 2 z x 2 + y 2 + z 2

    = ∂ ∂ y z x 2 + y 2 + z 2 - ∂ ∂ z y x 2 + y 2 + z 2 i - ∂ ∂ x z x 2 + y 2 + z 2 - ∂ ∂ z x x 2 + y 2 + z 2 j + ∂ ∂ x y x 2 + y 2 + z 2 - ∂ ∂ y x x 2 + y 2 + z 2 k

    = - z y x 2 + y 2 + z 2 3 2 + z y x 2 + y 2 + z 2 3 2 i - - z x x 2 + y 2 + z 2 3 2 + z x x 2 + y 2 + z 2 3 2 j + - x y x 2 + y 2 + z 2 3 2 + x y x 2 + y 2 + z 2 3 2 k

    r o t   F = ( 0,0 , 0 )

    Passo 2

  2. O divergente é o produdo escalar com o mesmo operador, então

d i v   F = ∂ ∂ x x x 2 + y 2 + z 2 + ∂ ∂ y y x 2 + y 2 + z 2 + ∂ ∂ z z x 2 + y 2 + z 2

= y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2 + x 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2 + x 2 + y 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2

= 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2 = 2 x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 3 2

d i v   F = 2 x 2 + y 2 + z 2

Resposta

r o t   F = 0,0 , 0

d i v   F = 2 x 2 + y 2 + z 2

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