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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 6.7 - Ex. 2a

Verifique que as seguintes integrais independem do caminho e calcule seus valores

a) ∫ 1 , - 2 3,4 y d x - x d y x 2

Passo 1

Seja a integral

∫ C F 1 d x + F 2 d y

Como podemos saber que ela independe do caminho? Para certas condições (veja o Teorema 6.4 do livro-texto), se

∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 0

então a integral será independente do caminho!

Passo 2

Note que podemos escrever o integrando como sendo

y x 2   d x - 1 x   d y

Assim, F 1 = y / x 2 e F 2 = - 1 / x .

∂ F 2 ∂ x = ∂ ∂ x - 1 x = 1 x 2

∂ F 1 ∂ y = ∂ ∂ y y x 2 = 1 x 2

Logo, ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y = 0 . Assim, segue que a integral é independente do caminho!

Passo 3

Portanto, basta encontrar uma função potencial φ x , y , de modo que

∇ φ x , y = F 1 ,   F 2 ∂ φ ∂ x , ∂ φ ∂ y = F 1 , F 2 ⟹ ∂ φ ∂ x = F 1 ∂ φ ∂ y = F 2

Assim, integrando a primeira equação em relação a x , temos:

φ x , y = ∫ F 1   d x = ∫ y x 2 d x φ x , y = y ∫ 1 x 2 d x = - y x + U y

onde U y é uma “constante” que depende de y . Observe que enquanto estamos integrando em relação a x , y é constante. Usando o resultado acima, segue que

∂ φ ∂ y = ∂ ∂ y - y x + U y = - 1 x + U ' y = F 2 - 1 x + U ' y = - 1 x ⟹ U ' y = 0

Ou seja, U y = k (uma constante que não depende de x nem de y ). Podemos tomar, sem nenhuma perca de generalidade, que k = 0 . Sendo assim,

φ x , y = - y x

Passo 4

Finalmente a integral poderá ser calculada:

∫ 1 , - 2 3,4 y   d x - x   d y x 2 = φ x , y 1 , - 2 3,4 = φ 3,4 - φ 1 , - 2 ∫ 1 , - 2 3,4 y   d x - x   d y x 2 = - 4 3 - 2 = - 10 3

Resposta

∫ 1 , - 2 3,4 y   d x - x   d y x 2 = - 10 3 .

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