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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.2 - Ex. 64

Demonstre a propriedade 6 das integrais.

Passo 1

A propriedade 6 , nos diz que se f (x) >= 0 para a <= x <= b , então:

int_a^b f (x) d x >= 0

Passo 2

Escrevendo pelo limite da soma:

int_a^b f (x) d x = underset(n -> oo)(lim) sum_(i = 1)^n f (x_i) Delta x

Como Delta x é um intervalo não negativo e f (x_i) >= 0 , então:

f (x_i) Delta x >= 0

Passo 3

Se f (x_i) Delta x >= 0 ocorre em a <= x <= b , então nesse intervalo, a soma de n termos não negativos é um número não negativos, logo:

sum_(i = 1)^n f (x_i) Delta x >= 0

Então, o limite desse número não negativo quando mandamos o número de termos para o infinito, também é não negativo, ou seja:

underset(n -> oo)(lim) sum_(i = 1)^n f (x_i) Delta x >= 0

Como esse limite é a própria integral, mostramos que:

int_a^b f (x) d x >= 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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b)int x d x
e)∫ x 2 5 d x
d)int sqrt(x) d x
c)∫ x 5 d x
s)int ((3)/(x) + (2)/(x^3)) d x