Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.6 - Ex. 38
Seja uma série com termos positivos e seja . Suponha que , assim converge pelo Teste da Razão. Como habitualmente, faça ser o resto depois de termos, isto é,
(a) Se for uma sequência decrescente e , mostre, pela soma de uma série geométrica, que
(b) Se for uma sequência crescente, mostre que
Passo 1
Galera, quando estamos falando de uma série geométrica, a razão entre termos consecutivos nos dá a razão da série geométrica, de forma que a soma dessa série quando seria:
No caso desse exercício, temos que trazer a ideia de série geométrica pra uma série que não é necessariamente geométrica, mas você verá que é bastante análogo.
Passo 2
(a) Precisamos calcular, ou pelo menos, estabelecer uma desigualdade com a soma da série :
Parece estranho, mas é como se fosse a mesma coisa de uma série qualquer, começando com em vez de .
Agora, suponhamos que essa série seja geométrica. Então, a razão constante entre os termos consecutivos seria:
A razão satisfaz , pois o enunciado nos diz que a série só tem termos positivos e . Então, a soma seria:
Passo 3
Mas, não podemos afirmar que a série é geométrica, pois, a cada termo, a razão diminui, já que é decrescente. Ou seja, se tínhamos um valor para a soma de com a razão sendo constante, esse valor deve deve ser menor considerando uma razão que sempre está diminuindo. Então,
Passo 4
(b) Agora, em vez de diminuir, a razão está crescendo, pois é uma sequência crescente. Sendo assim, se fizermos o cálculo da soma de uma série geométrica considerando a maior razão possível, ou seja, considerando como razão, chegaríamos a um número maior do que , pois no início de , a razão seria menor. Então,
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)