Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.1 - Ex. 55
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Passo 1
Beleza, pessoal? Bom, vamos para nossa resolução:
Pra gente saber se uma sequência converge ou diverge, a gente precisa tentar achar o limite dela:
Temos aqui uma sequência com um termo fatorial, então vamos precisar abrir para analisarmos bem o comportamento da sequência.
Vamos por partes então:
Passo 2
Abrimos o termo fatorial e o termo exponencial de base 2:
A expressão genérica para fatorial é:
Ficamos assim com:
Sabemos que o primeiro e último termo do numerador serão sempre e , respectivamente, e todos os termos do denominador sempre serão . Dessa forma colocamos em evidência:
Passo 3
Para facilitar nossa compreensão do que acontece com essa sequência , vamos tentar relacionar com uma forma mais simplificada, com menos termos:
Podemos escrever que:
Já que o maior termo tem termos maiores:
Calculando:
Encontramos que o limite é “maior ou igual ao infinito”, o que significa que ele é infinito. Então:
Portanto, a sequência diverge, ok?
Resposta
Sequência divergente. Limite de não existe.