Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

a_n = n! / (2^n)

Passo 1

Beleza, pessoal? Bom, vamos para nossa resolução:

Pra gente saber se uma sequência converge ou diverge, a gente precisa tentar achar o limite dela:

Temos aqui uma sequência com um termo fatorial, então vamos precisar abrir n ! para analisarmos bem o comportamento da sequência.

Vamos por partes então:

Passo 2

Abrimos o termo fatorial e o termo exponencial de base 2:

A expressão genérica para fatorial é:

n !   =   n   .   n   –   1 .   n   –   2 . ⋯ . 2.1

Ficamos assim com:

l i m n → ∞   n ! 2 n = l i m n → ∞ n n - 1 … 2   .   1 2   .   2 … 2   .   2

Sabemos que o primeiro e último termo do numerador serão sempre n e 1 , respectivamente, e todos os termos do denominador sempre serão 2 . Dessa forma colocamos em evidência:

l i m n → ∞ n n - 1 … 2   .   1 2   .   2 … 2   .   2 = l i m n → ∞ n 2 . n - 1 2 … 2 2   . 1 2

Passo 3

Para facilitar nossa compreensão do que acontece com essa sequência a n , vamos tentar relacionar com uma forma mais simplificada, com menos termos:

Podemos escrever que:

l i m n → ∞ n 2 . n - 1 2 … 2 2   . 1 2 ≥ l i m n → ∞ n 2   . 1 2

Já que o maior termo tem termos maiores:

Calculando:

l i m n → ∞ n 2   . 1 2 = ∞

Encontramos que o limite é “maior ou igual ao infinito”, o que significa que ele é infinito. Então:

l i m n → ∞   n ! 2 n = ∞

Portanto, a sequência diverge, ok?

Resposta

Sequência divergente. Limite de a n não existe.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados