Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.1 - Ex. 50
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Passo 1
Beleza, galera? Vamos lá:
Pra gente saber se uma sequência converge ou diverge, a gente precisa tentar achar o limite dela.
Analisando essa sequência vemos que tanto o numerador quanto o denominador tendem ao infinito quando , nos deixando assim com uma indeterminação do tipo .
Nesse tipo de indeterminação podemos usar uma técnica para sair dela chamada regra de l’Hopital.
Então bora lá!
Passo 2
Relembrando a Regra de l’Hopital, ela dizia que:
Em outras palavras, derivamos separadamente a expressão do numerador e do denominador e conseguimos determinar esse limite.
Lembrando que a Regra de l’Hopital só vale para as indeterminações e .
Passo 3
Para derivar vamos precisar usar a Regra da Cadeia:
A Regra da Cadeia é como um truque que usamos quando temos uma função dentro de outra função. Assim nós primeiros derivamos a função “de fora” e depois multiplicamos esse resultado pela derivada da função de dentro.
Fazendo essas derivações, no nosso caso então, teremos:
Rearranjando esse limite, temos:
Podemos agora aplicar mais uma vez l’Hopital, para simplificar ainda mais:
Rearranjando os temos e finalmente resolvendo o limite, temos:
No limite acima, usamos L’Hôpital duas vezes, e descobrimos que a sequência converge para , não é mesmo?
Resposta
Sequência convergente.