Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.1 - Ex. 87
Demonstre o Teorema . [Sugestão: Use a Definição ou o Teorema do Confronto.]
Passo 1
E aí, pessoal? Tudo certo?
Bom, antes de começarmos a demonstração, vamos relembrar a definição 2:
Uma sequência tem limite e escrevemos
se para cada existir um inteiro correspondente tal que se
então
E o Teorema do Confronto (ou do Sanduíche):
O princípio é que se uma função está entre outras duas funções com o mesmo limite, então a função intermediária terá necessariamente o mesmo limite. Por essa razão, ele é conhecido como Teorema do Sanduíche.
Basicamente:
se e , então
A intenção então é usar uma das duas definições acima para demonstrar o Teorema 6 que nos diz o seguinte:
Passo 2
Aqui nós usaremos o Teorema do Confronto (ou do sanduíche). Para todo número real, vale:
Por exemplo, se , então:
O que é verdade.
Agora tomamos o limite:
Mas a hipótese do teorema é que , então:
Logo, , e está demonstrado, beleza?
Resposta
Teorema 6 demonstrado no passo 2.