Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.6 - Ex. 21

Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e diretriz tem a equação polar

Passo 1

Hey, galera! Primeiro, vamos fazer um esboço do que seria uma cônica com foco na origem, excentricidade e diretriz , beleza?

Agora, como provar que essa cônica tem a seguinte equação?

Passo 2

Galera, vamos lembrar de como definimos uma cônica: a razão entre a distância de um ponto qualquer da cônica ao foco e a distância entre esse ponto e a reta diretriz deve ser igual à excentricidade:

Digamos que o ponto tem coordenadas polares e retangulares .

Como mostra a figura, o foco está na origem, então .

Olhando novamente pra figura, vemos que

Como é negativo:

Passo 3

Agora que já temos e em coordenadas polares, jogamos esses valores na equação:

Beleza, provamos o que queríamos!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use os gráficos de x = f ( t ) y = g ( t ) Para esboçar a curva paramétrica x = f ( t ) y = g ( t ) Indique com setas a direção na qual a curva é traçada à medida que t aumenta.

Encontre equações paramétricas para a elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 Use as equações paramétricas para traçar a elipse quando a = 3 e b = 1 ,2 ,4e8 Como muda o formato da elipse quando b varia?

Mostre que as equações paramétricas x = x 1 + x 2 - x 1 t y = y 1 + y 2 - y 1 t Onde 0 ≤ t ≤ 1 descrevem o segmento de reta que une os pontos P 1 ( x 1 , y 1 ) e P 2 ( x 2 , y 2 ) .E encontre as equaç