Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.3 - Ex. 78d

Mostre que cada uma das seguintes funções é uma solução da equação da onda u t t = a 2 u x x .

(d) u = sen ⁡ x - a t + ln ⁡ x + a t

Passo 1

Show de bola, galera!

A gente tem a equação da onda dada por:

u t t = a 2 u x x

E queremos provar que:

u = sen ⁡ x - a t + ln ⁡ x + a t

É solução dessa equação.

Não tem mistério....

Se repararmos bem a nossa equação diferencial parcial, precisaremos calcular somente u t t e u x x , e verificar se a equação é satisfeita. Simples assim.

Partiu fazer essas contas?

O que iremos fazer então é derivar u duas vezes em relação a t e duas vezes em relação a x e colocar na relação dada para provarmos o que nos foi pedido.

Aqui o que temos que fazer em muitos momentos é utilizar a regra da cadeia, pois temos funções dentro das funções potência.

Passo 2

Dando início a derivação:

u t = ∂ u ∂ t = ∂ ∂ t sen ⁡ x - a t + ln ⁡ x + a t

u t = ∂ ∂ t sin ⁡ g t ⋅ ∂ ∂ t x - a t + ∂ ∂ t ln ⁡ h t ⋅ ∂ ∂ t x + a t

u t = 6 a a t + x - a cos ⁡ a t - x

Agora vamos novamente derivar:

u t t = ∂ 2 u ∂ t 2 = ∂ ∂ t ∂ u ∂ t

u t t = ∂ ∂ t 6 a a t + x - a cos ⁡ a t - x

Precisaremos utilizar a regra da cadeia e a regra do quociente aqui:

u t t = ∂ ��� t 6 a a t + x - a ∂ ∂ t cos ⁡ g t ⋅ a t - x

u t t = a 2 - 6 ( a t + x ) 2 + sen ⁡ x - a t

Agora vamos derivar em relação a x :

u x = ∂ u ∂ x = ∂ ∂ x sen ⁡ x - a t + ln ⁡ x + a t

u x = ��� ∂ x sin ⁡ g x ⋅ ∂ ∂ x x - a t + ∂ ∂ x ln ⁡ h x ⋅ ∂ ∂ x x + a t

u x = 6 a t + x + cos ⁡ a t - x

Agora deveremos derivar novamente, aplicando a regra do quociente e a regra da cadeia:

u x x = ∂ 2 u ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ u ∂ x

u x x = ∂ ∂ x 6 a t + x - ∂ ∂ x cos ⁡ g x ⋅ a t - x

u x x = ∂ ∂ x 6 a t + x + cos ⁡ a t - x

u x x = - 6 ( a t + x ) 2 + sen ⁡ x - a t

Passo 3

Jogando na equação:

u t t = a 2 u x x ⇒     ?     a 2 - 6 ( a t + x ) 2 + sen ⁡ x - a t = a 2 - 6 ( a t + x ) 2 + sen ⁡ x - a t ⏟ O K  

Vemos que a igualdade é satisfeita.

Resposta

Ver desenvolvimento

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Verifique que x (del^2 z)/(del x del y) + y (del^2 z)/(del y^2) = 0 , onde z = (x + y) e^((x)/(y)) .
Seja f (x , y) = (1)/(x^2 + y^2) . Verifique que a) x (del^2 f)/(del x^2) (x , y) + y (del^2 f)/(del y del x) (x , y) = - 3 (del f)/(del x) (x , y) b) (del^2 f)/(del x^2) (x , y) + (del^2 f)/(del y^2)
Calcule todas as derivadas parciais de 2ª ordem:a) f x , y = x 3 y 2 b) z = e x 2 - y 2 c) z = ln ⁡ 1 + x 2 + y 2 d) g x , y = 4 x 3 y 4 + y 3
13. Seja z = f ( x , y ) de classe C 2 no aberto A e seja x 0 , y 0 ∈ A . Suponha que f x 0 , y 0 ≥ f ( x , y ) para todo x , y ∈A . Prove que ∂ 2 f ∂ x 2 x 0 , y 0 ≤ 0 e ∂ 2 f ∂ y x 0 , y 0 ≤ 0 .Inte
9. Seja u (x , t) = A s e n (a lambda t + phi) s e n lambda x , com A , a , lambda e phi constantes. Verifique que(del^2 u)/(del t^2) = a^2 (del^2 u)/(del x^2) .