Mostre que cada uma das seguintes funções é uma solução da equação da onda u_tt = a^2 u_xx .

(d) u = sen(x - a t) + ln(x + a t)

Passo 1

Show de bola, galera!

A gente tem a equação da onda dada por:

u t t = a 2 u x x

E queremos provar que:

u = sen ⁡ x - a t + ln ⁡ x + a t

É solução dessa equação.

Não tem mistério....

Se repararmos bem a nossa equação diferencial parcial, precisaremos calcular somente u t t e u x x , e verificar se a equação é satisfeita. Simples assim.

Partiu fazer essas contas?

O que iremos fazer então é derivar u duas vezes em relação a t e duas vezes em relação a x e colocar na relação dada para provarmos o que nos foi pedido.

Aqui o que temos que fazer em muitos momentos é utilizar a regra da cadeia, pois temos funções dentro das funções potência.

Passo 2

Dando início a derivação:

u t = ∂ u ∂ t = ∂ ∂ t sen ⁡ x - a t + ln ⁡ x + a t

u t = ∂ ∂ t sin ⁡ g t ⋅ ∂ ∂ t x - a t + ∂ ∂ t ln ⁡ h t ⋅ ∂ ∂ t x + a t

u t = 6 a a t + x - a cos ⁡ a t - x

Agora vamos novamente derivar:

u t t = ∂ 2 u ∂ t 2 = ∂ ∂ t ∂ u ∂ t

u t t = ∂ ∂ t 6 a a t + x - a cos ⁡ a t - x

Precisaremos utilizar a regra da cadeia e a regra do quociente aqui:

u t t = ∂ ��� t 6 a a t + x - a ∂ ∂ t cos ⁡ g t ⋅ a t - x

u t t = a 2 - 6 ( a t + x ) 2 + sen ⁡ x - a t

Agora vamos derivar em relação a x :

u x = ∂ u ∂ x = ∂ ∂ x sen ⁡ x - a t + ln ⁡ x + a t

u x = ��� ∂ x sin ⁡ g x ⋅ ∂ ∂ x x - a t + ∂ ∂ x ln ⁡ h x ⋅ ∂ ∂ x x + a t

u x = 6 a t + x + cos ⁡ a t - x

Agora deveremos derivar novamente, aplicando a regra do quociente e a regra da cadeia:

u x x = ∂ 2 u ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ u ∂ x

u x x = ∂ ∂ x 6 a t + x - ∂ ∂ x cos ⁡ g x ⋅ a t - x

u x x = ∂ ∂ x 6 a t + x + cos ⁡ a t - x

u x x = - 6 ( a t + x ) 2 + sen ⁡ x - a t

Passo 3

Jogando na equação:

u t t = a 2 u x x ⇒     ?     a 2 - 6 ( a t + x ) 2 + sen ⁡ x - a t = a 2 - 6 ( a t + x ) 2 + sen ⁡ x - a t ⏟ O K  

Vemos que a igualdade é satisfeita.

Resposta

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