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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.4 - Ex. 1

Verifique, por derivação, que a formula está correta

∫ x x 2 + 1 d x = x 2 + 1 + C

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos verificar, através da derivação, se a seguinte expressão está correta:

∫ x x 2 + 1 d x = x 2 + 1 + C

Bom, para verificar por derivação é simples, basta a gente derivar o resultado da integral e comparar com o que está dentro da integral, ok?

Para isso vamos relembrar umas coisinhas:

  • A primeira que podemos escrever raiz dessa forma:

    • x = x 1 2

  • A segunda é a regra da cadeia da derivada, a derivada de fora vezes a derivada de dentro:

    • f g x ' = f g x ' ⋅ g x '

  • E por último a derivada de potência:

x n ' = x x n - 1

Agora sim tudo pronto para fazermos essa demonstração!

Passo 2

Primeiro vamos trabalhar esse resultado:

f x = x 2 + 1 1 2 + C

Agora com a regra da cadeia, ficamos com:

f ' x = x 2 + 1 1 2 ' ⋅ x 2 + 1 ' + C '

Aplicando a derivada de potência que vimos no passo 1:

f ' x = 1 2 x 2 + 1 - 1 2 ⋅ 2 x + 0

Simplificando:

f ' x = x x 2 + 1

Reparou que encontramos o que estava dentro da integral? Então está verificado!!

Não se esqueça que a derivada de uma constante é zero ein.

Resposta

Demonstração

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