Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.6 - Ex. 2
Demonstre que, entre todos os retângulos com perímetro de 8 m, o de maior área é um quadrado.
Passo 1
O Perímetro e a área de um retângulo são dadas por:
Passo 2
Primeiro iremos transformar nossas equações de duas variáveis em uma equação de uma variável. Como temos que P= 8 , podemos pegar a expressão:
Substituindo isso na equação da área temos que:
Passo 3
Para achar o maior área possível, podemos derivar a expressão, e igualar a 0. Assim a derivada ficará:
Passo 4
Substituindo no perímetro e na expressão da área, temos que:
Logo
,
A resposta pode ser vista no gráfico abaixo:
Reparem na concavidade para baixo, o que indica que:
Resposta
Temos aqui um quadrado de lado 2.
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