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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.10 - Ex. 1

Nos Exercícios 1-3, comece desenhando um diagrama que mostre

as relações entre as variáveis.

Se w = x 2 + y 2 + z 2 e z = x 2 + y 2 , encontrea. ∂ w ∂ y z b. ∂ w ∂ z x c. ∂ w ∂ z y .

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, desenharemos um diagrama que mostre as relações entre as variáveis

w = x 2 + y 2 + z 2 , z = x 2 + y 2 . 

a. ∂ w ∂ y z b. ∂ w ∂ z x c. ∂ w ∂ z y

Passo 2

(a) Inicialmente, vamos escrever o diagrama:

y z → x = x ( y , z ) y = y z = z → w

Passo 3

Dessa forma, a derivada será:

∂ w ∂ y z = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ y + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ y + ∂ w ∂ z ∂ z ∂ y ; ∂ z ∂ y = 0 ∂ z ∂ y = 2 x ∂ x ∂ y + 2 y ∂ y ∂ y ∂ z ∂ y = 2 x ∂ x ∂ y + 2 y 0 = 2 x ∂ x ∂ y + 2 y ∂ x ∂ y = - y x

Portanto, chegamos à:

∂ w ∂ y z = ( 2 x ) - y x + ( 2 y ) ( 1 ) + ( 2 z ) ( 0 ) ∂ w ∂ y z = - 2 y + 2 y

Concluímos, então, que a resposta é para 0 item (a) é: ∂ w ∂ y z = 0

Passo 4

(b)Escrevendo o diagrama, temos:

x z → x = x y = y ( x , z ) z = z → w

Dessa forma, a derivada será:

∂ w ∂ y x = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ z + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ z + ∂ w ∂ z ∂ z ∂ z ; ∂ x ∂ z = 0 ∂ z ∂ z = 2 x ∂ x ∂ z + 2 y ∂ y ∂ z 0 = 2 x ∂ x ∂ y + 2 y ∂ y ∂ z = 1 2 y

Portanto, chegamos à ∂ w ∂ z x = ( 2 x ) ( 0 ) + ( 2 y ) 1 2 y + ( 2 z ) ( 1 ) Concluímos, então, que a resposta do item (b) é ∂ w ∂ z x = 1 + 2 z

Passo 5

(c)Escrevendo o diagrama, temos:

y z → x = x ( y , z ) y = y z = z → w

Dessa forma, a derivada será:

∂ w ∂ z y = ∂ w ∂ x ∂ x ∂ z + ∂ w ∂ y ∂ y ∂ z + ∂ w ∂ z ∂ z ∂ z ;   ∂ y ∂ z = 0 ∂ z ∂ z = 2 x ∂ x ∂ z + 2 y ∂ y ∂ z 1 = 2 x ∂ x ∂ z ∂ x ∂ z = 1 2 x

Portanto, chegamos à ∂ w ∂ z y = ( 2 x ) 1 2 x + ( 2 y ) ( 0 ) + ( 2 z ) ( 1 )

Concluímos, então, que a resposta para 0 item (c) é ∂ w ∂ z y = 1 + 2 z

Resposta

a) ∂ w ∂ y z = 0

b) ∂ w ∂ z x = 1 + 2 z

c) ∂ w ∂ z y = 1 + 2 z

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