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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.10 - Ex. 6

Encontre ( del u // del y )_x no ponto ( u , v ) = ( sqrt(2) , 1 ) , se x = u^2 + v^2 e y = u v .

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício encontraremos ((del u)/(del y))_x no ponto ( u , v ) = ( 2,1 ) se x = u^2 + v^2 e y = u v .

Passo 2

Seja y = u v , então

1 = v (del u)/(del y) + u (del v)/(del y)

Temos também que x = u^2 + v^2 , então

(del x)/(del y) = 0

Passo 3

Assim, a derivada x = u^2 + v^2 será:

[[,0,=,2,u,(del u)/(del y),+,2,v,(del v)/(del y)],[,(del v)/(del y),=,(- (u)/(v)),(del u)/(del y)]]

Substituindo (del v)/(del y) = (- (u)/(v)) (del u)/(del y) em 1 = v (del u)/(del y) + u (del v)/(del y) temos:

[[,1,=,v,(del u)/(del y),+,u,(- (u)/(v) (del u)/(del y)),=,((v^2 - u^2)/(v)),(del u)/(del y)],[,(del u)/(del y),=,(v)/(v^2 - u^2)]]

Passo 4

No ponto ( u , v ) = ( sqrt(2) , 1 ) teremos:

[[,(del u)/(del y),=,(1)/(1^2 - ( sqrt(2) )^2)],[,(del u)/(del y),=,-,1]]

Resposta

Portanto, obtemos com resposta: ((del u)/(del y))_x = - 1

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