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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 8.4 - Ex. 1-e

  1. Calcule ∫ γ F → . n → d s   sendo dados ( para evitar repetição ficara subentendido que n → é unitário )

  F → x , y = x   i →   + y   j →   ,     γ t = t ,   t 2 ,     0 ≤ t ≤ 1

n → a normal com componente y < 0

Passo 1

Podemos usar o truque do divergente quando temos uma superfície fechada. Neste caso temos uma superfície aberta. Logo temos que calcular pela definição

∫ γ F → . n → d s

∫ a b F → γ t n → γ ( t ) γ ' ( t ) d t

Onde

n γ ( t ) = 1 | | γ ( t ) | |   y ' t i - x ' t j

Assim Nossa integração fica

∫ a b F → γ t y ' t i - x ' t j d t

Passo 2

Vamos parametrizar nossa função F

F → x , y = x   i →   + y   j →

γ t = t ,   t 2 ,    

Assim

F → γ t = t , t 2

Passo 3

Calcular

y ' t i - x ' t j

Já que y e x são componentes da nossa função F parametrizada podemos calcular como

y ' t i - x ' t j = 2 t   , - 1

Vamos unir agora nossa integração

∫ a b F → γ t y ' t i - x ' t j d t =   ∫ a b t , t ² 2 t , - 1 d t

∫ a b 2 t 2 - t 2 d t

Onde nosso intervalo de integração é

0 ≤ t ≤ 1

Assim nossa integral fica

∫ 0 1 t 2 d t

= 1 3

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ γ F → . n → d s = 1 3

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