Enunciado
Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.6 - Ex. 14
14. Seja . Calcule o comprimento do segmento da reta normal ao gráfico da f compreendida entre o ponto e o plano
Passo 1
Fizemos ao parecido com esse exercício nos itens anteriores. Podemos lembrar que vetor normal à superfície é conhecido como Vetor Gradiente. Esse vetor tem o seguinte formato, sendo nossa superfície uma função g, seu gradiente é
No nosso caso temos a função
Assim podemos dizer que nossa superfície é
É sempre bom deixar equação inteira do lado esquerdo e deixar igualada a zero. Com isso nosso vetor normal, ou melhor o Vetor Gradiente é
Passo 2
Agora temos que esse vetor gradiente é meio genérico. Ele é um vetor normal a toda superfície, queremos fixar ele pra ser normal a um único ponto. Entao vamos plotar esse ponto no nosso vetor gradiente
Assim temos que
Passo 3
Então podemos dizer que nossa reta será
Ou podemos escrever como
Para descobrirmos o comprimento entre o ponto P e o plano através dessa reta, vamos ter que fazer um integral de Linha.
Podemos escrever essa integral de outra forma
Onde nosso
Agora so falta achar os limites de integração, sabemos que saimos de P ,entao
Logo so precisamos escontrar o instante t onde nossa reta passa por P. Sabendo que
E
Podemos afirmar que
Otimo. Conseguimos um limite, agora so precisamos do outro. Nossa reta vai de P ate o plano XY. Outro jeito de pensar isso é dizer que vamos ao plano . Assim temos que a compenente z da nossa reta seja igual a zero
Logo nossos limites são
Vamos integrar agora
Como queremos valores absolutos e não apenas uma distância a partir de um referencial, podemos pegar o valor positivo dessa integração. Logo o comprimento do segmento de reta é
Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/
Te vejo na próxima resolução
: )
Resposta
comprimento do segmento da reta normal ao gráfico