12. Considere a superfície S de equação z = 2 * x² + 2 * y²

B. Escreva a equação do plano tangente referido no item a)

Passo 1

No item anterior descobrimos que o Vetor Gradiente (vetor normal ao plano tangente) é

∇ g = - 4 x ,   - 4 y , 1

E o ponto que pertence a esse plano é

P = 0 , 3 2 , 9 2

Se você lembra de geometria analítica podemos criar um plano a partir de apenas dois itens, o vetor normal e um ponto que pertence ao plano. Logo temos tudo que precisamos. \o/

A primeira coisa que precisamos fazer é pegar o vetor gradiente que está muito genérico e fixar ele. Podemos fazer isso aplicando o ponto nesse vetor

∇ g   P

Assim ficamos com

∇ g   0 , 3 2 , 9 2 = 0 , - 6,1

Passo 2

Então nosso vetor normal é

0 , - 6,1

Nosso plano tem o seguinte formato canônico

A x + B y + C z + D = 0

Onde as constantes do plano são as componentes do vetor normal !!! Olha que maravilha, com isso nossa equação fica

- 6 y + z + D = 0

Podemos descobrir qual é o valor de D aplicando o ponto a esse plano.

- 6   3 2 + 9 2 + D = 0

D =   - 9 2

Assim nosso plano é

- 6 y + z - 9 2 = 0

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

- 6 y + z - 9 2 = 0

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