13. Considere a superfície do paraboloide da equação z = x 2 9 + y 2 25

  1. Encontre uma equação do plano tangente do paraboloide no ponto P 0 = 6,10,8

Passo 1

Fizemos algo parecido com esse exercício nos anteriores a esse. Para descobrir um plano Precisamos de apenas duas coisas: Vetor normal e um Ponto pertencente ao Plano. Já temos o Ponto, agora é só descobrir o vetor normal. O legal de planos tangentes é que o vetor normal ao plano é também vetor normal à superfície. E esse vetor é conhecido por Vetor Gradiente. Esse vetor tem o seguinte formato, sendo nossa superfície uma função g, seu gradiente é

∇ g = ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y , ∂ g ∂ z

No nosso caso nossa superfície é

g   : z - x 2 9 - y 2 25 = 0

É sempre bom deixar equação inteira do lado esquerdo e deixar igualada a zero. Com isso nosso vetor normal, ou melhor o Vetor Gradiente é

∇ g = - 2 x 9 ,   - 2 y 25 , 1

Passo 2

O próximo passo é plotar nosso ponto dentro desse vetor. Assim vamos fixar ele no espaço

∇ g P   = ∇ g 6,10,8    

∇ g 6,10,8     =   - 2 ⋅ 6 9 ,   - 2 ⋅ 10 25 , 1

= - 4 3 ,   - 4 5 , 1

Passo 3

Então nosso vetor normal é

- 4 3 ,   - 4 5 , 1

Nosso plano tem o seguinte formato canônico

A x + B y + C z + D = 0

Onde as constantes do plano são as componentes do vetor normal !!! Olha que maravilha, com isso nossa equação fica

- 4 3 x - 4 5 y + z + D = 0

Podemos descobrir qual é o valor de D aplicando o ponto a esse plano.

- 4 3 6 - 4 5 10 + 8 + D = 0

- 8 - 8 + 8 + D = 0

D = 8

Assim nosso plano tem a seguinte equação

- 4 3 x - 4 5 y + z + 8 = 0

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

- 4 3 x - 4 5 y + z + 8 = 0

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