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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 4i

Derive.

y = t^3 e^(- 3 t)

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra do produto:

(f (t) g (t))^' = f ' ( t ) g (t) + g ' (t) f (t)

Temos que:

f (t) = t^3

e

g (t) = e^(- 3 t)

(t^3 e^(- 3 t))^' = f ' ( t ) g (t) + g ' (t) f (t) = (t^3)^' * (e^(- 3 t)) + (e^(- 3 t))^' * (t^3)

Passo 2

Para calcular as derivadas vamos usar a regra da função exponencial, da função trigonométrica e do polinômio, além da regra da cadeia, que já está aplicada em algumas fórmulas:

(e^(f (t)))^' = e^(f (t)) * f ' ( t )

(sen (t))^' = cos (t)

(t^n)^' = n t^(n - 1)

y^' = f^' (g (t)) * g ' (t)

Passo 3

Para calculcar f^' (t) vamos usar a regra do polinômio:

f ' ( t ) = (t^3)^' = 3 t^(3 - 1) = 3 t^2

Com g^' (t) vamos usar a regra da função exponencial e do polinômio:

f ' ( t ) = (e^(- 3 t))^' = e^(- 3 t) * (- 3 t)^' = e^(- 3 t) * (- 3 t^(1 - 1)) = e^(- 3 t) * (- 3 t^0) = e^(- 3 t) * (- 3 * 1) = - 3 e^(- 3 t)

Passo 4

Agora é só substituir na expressão:

y^' = (t^3 e^(- 3 t))^' = f ' ( t ) g (t) + g ' (t) f (t) = (t^3)^' * (e^(- 3 t)) + (e^(- 3 t))^' * (t^3) = 3 t^2 * (e^(- 3 t)) + (- 3 e^(- 3 t)) * (t^3) = 3 t^2 e^(- 3 t) (1 - t)

Resposta

y ' = 3 t^2 e^(- 3 t) (1 - t)

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Derive.y = e^x cos 2 x
Derive.y = (cos 5 x)/(sen 2 x)
Derive.g (t) = (e^t - e^(- t))/(e^t + e^(- t))
Seja f : R → R derivável e seja g dada por g x = f e 2 x . Supondo f ' 1 = 2 , calcule g ' 0 .
Derive.y = x e^(3 x)