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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 3

Seja f : R → R derivável e seja g dada por g x = f e 2 x . Supondo f ' 1 = 2 , calcule g ' 0 .

Passo 1

Primeiro vamos calcular a derivada de g ' x , vamos analisar a função, temos um polinômio dentro de uma função, vamos com calma então pra resolver esse, teremos que utilizar a regra da cadeia, vamos relembrar o formato:

g ' x = d y d x = f ' h x ⋅ h ' x

Passo 2

Temos que h x é a função mais de dentro e y = f x a função mais de fora:

h x = e 2 x

Passo 3

Vamos agora aplicar algumas regras, vamos ter que usar a regra da função exponencial e do polinômio, vamos dá uma olhada nelas:

e f x ' = e f x ⋅ f ( x ) '

x n ' = n x n - 1

Agora é só aplicar, vamos lá?

g ' x = d y d x = f ' h x ⋅ h ' x = f ' e 2 x ⋅ e 2 x ' = f ' e 2 x ⋅ e 2 x ⋅ 2 x ' = f ' e 2 x ⋅ e 2 x ⋅ 2 x 1 - 1 = f ' e 2 x ⋅ e 2 x ⋅ 2 x 0 = f ' e 2 x ⋅ e 2 x ⋅ 2 ⋅ 1 = f ' e 2 x ⋅ 2 e 2 x

Passo 4

Vamos agora calcular g ' 0 :

g ' 0 = f ' e 2 ⋅ 0 ⋅ 2 e 2 ⋅ 0 = f ' e 0 ⋅ 2 e 0 = f ' 1 ⋅ 2 ⋅ 1 = 2 f ' 1

Pronto, temos no enunciado o valor de f ' 1 , então é só substituir e temos a resposta:

g ' 0 = 2 f ' 1 = 2 ⋅ 2 = 4

Resposta

g ' 0 = 4

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