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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 4g

Derive.

y = (cos 5 x)/(sen 2 x)

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra da divisão:

g^' (x) = (f^' (x) h (x) - f (x) h ' (x))/([h (x)]^2)

Onde:

f (x) = cos 5 x

e

h (x) = sen 2 x

Assim temos então que:

((cos 5 x)/(sen 2 x))^' = (f^' (x) h (x) - f (x) h ' (x))/([h (x)]^2) = ((cos 5 x)^' (sen 2 x) - (cos 5 x) (sen 2 x)^')/([sen 2 x]^2)

Passo 2

Vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função trigonométrica e do polinômio, além da regra da cadeia:

(sen (x))^' = cos (x)

(cos (x))^' = - sen (x)

(x^n)^' = n x^(n - 1)

f^' (x) = f^' (g (x)) * g ' (x)

Passo 3

Primeiro vamos calcular f^' (x) :

f^' (x) = (cos 5 x)^' = - sen 5 x * (5 x)^' = - sen 5 x * 5 x^(1 - 1) = - sen 5 x * 5 x^0 = - sen 5 x * 5 * 1 = - 5 sen 5 x

Agora para h^' (x) :

h^' (x) = (sen 2 x)^' = cos 2 x * (2 x)^' = cos 2 x * 2 x^(1 - 1) = cos 2 x * 2 x^0 = cos 2 x * 2 * 1 = 2 cos 2 x

Passo 4

Pronto, agora é só substituir na expressão:

y^' = ((cos 5 x)/(sen 2 x))^' = ((cos 5 x)^' (sen 2 x) - (cos 5 x) (sen 2 x)^')/([sen 2 x]^2) = ((- 5 sen 5 x) (sen 2 x) - (cos 5 x) (2 cos 2 x))/([sen 2 x]^2) = (- 5 sen 5 x sen 2 x - 2 cos 2 x cos 5 x)/(sen^2 2 x)

Resposta

y^' = (- 5 sen 5 x sen 2 x - 2 cos 2 x cos 5 x)/(sen^2 2 x)

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