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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 4f

Derive.

g (t) = (e^t - e^(- t))/(e^t + e^(- t))

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra da divisão:

g^' (t) = (f^' (t) h (t) - f (t) h ' (t))/([h (t)]^2)

Onde:

f (t) = e^t - e^(- t)

e

h (t) = e^t + e^(- t)

Assim temos então que:

((e^t - e^(- t))/(e^t + e^(- t)))^' = (f^' (t) h (t) - f (t) h^' (t))/([h (t)]^2)

= ((e^t - e^(- t))^' (e^t + e^(- t)) - (e^t - e^(- t)) (e^t + e^(- t))^')/([e^t + e^(- t)]^2)

Passo 2

Vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função exponencial e do polinômio:

(e^(f (t)))^' = e^(f (t)) * f ( t ) '

(t^n)^' = n t^(n - 1)

Passo 3

Primeiro vamos calcular f^' (t) :

f^' (t) = (e^t - e^(- t))^' = (e^t)^' - (e^(- t)) = e^t * (t)^' - e^(- t) * (- t)^'

f^' (t) = e^t * (1) - e^(- t) * (- 1) = e^t + e^(- t)

Agora para h^' (t) :

h^' (t) = (e^t + e^(- t))^' = (e^t)^' + (e^(- t)) = e^t * (t)^' + e^(- t) * (- t)^' =

h^' (t) = e^t * (1) + e^(- t) * (- 1) = e^t - e^(- t)

Passo 4

Pronto, agora é só substituir na expressão:

g^' (t) = ((e^t - e^(- t))^' (e^t + e^(- t)) - (e^t - e^(- t)) (e^t + e^(- t))^')/([e^t + e^(- t)]^2)

g^' (t) = ((e^t + e^(- t)) (e^t + e^(- t)) - (e^t - e^(- t)) (e^t - e^(- t)))/([e^t + e^(- t)]^2)

g^' (t) = (e^(2 t) + 2 e^t e^(- t) + e^(- 2 t) - (e^(2 t) - 2 e^t e^(- t) + e^(- 2 t)))/((e^t + e^(- t))^2)

Como e^t e^(- t) = e^(t - t) = e^0 = 1

= (e^(2 t) + 2 + e^(- 2 t) - (e^(2 t) - 2 + e^(- 2 t)))/((e^t + e^(- t))^2)

g^' (t) = (4)/((e^t + e^(- t))^2)

Feshow? :)

Resposta

g^' (t) = (4)/((e^t + e^(- t))^2)

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