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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 4a

Derive.

y = x e^(3 x)

Passo 1

Aqui vamos usar a regra do produto:

(f (x) g (x))^' = f ' ( x ) g (x) + g ' (x) f (x)

Temos que:

f (x) = x

e

g (x) = e^(3 x)

(x e^(3 x))^' = f^' (x) g (x) + g^' (x) f (x) = (x)^' * (e^(3 x)) + (e^(3 x))^' * (x)

Passo 2

Para calcular f ' ( x ) usamos a regra do polinômio:

(x^n)^' = n x^(n - 1)

Assim:

f^' (x) = (x)^' = x^(1 - 1) = x^0 = 1

Passo 3

Usamos a regra da função exponencial, a do polinômio e da cadeia pra calcular g ' ( x ) :

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(e^(f (x)))^' = e^(f (x)) * f ' ( x )

Assim:

g ' ( x ) = (e^(3 x))^' = e^(3 x) * (3 x)^' = e^(3 x) * (3 x^(1 - 1)) = e^(3 x) * (3 x^0) = e^(3 x) * (3.1) = 3 e^(3 x)

Passo 4

Agora é só substituir na expressão:

y^' = (x e^(3 x))^' = (x)^' * (e^(3 x)) + (e^(3 x))^' * (x) = 1 * (e^(3 x)) + 3 e^(3 x) * (x) = e^(3 x) + 3 x e^(3 x)

Resposta

y ' = e^(3 x) + 3 x e^(3 x)

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