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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 4e

Derive.

f (x) = e^(- x^2) + ln (2 x + 1)

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra da soma:

f^' (x) = (e^(- x^2) + ln (2 x + 1))^' = (e^(- x^2))^' + (ln (2 x + 1))^'

Para calcular as derivadas vamos usar a regra da função exponencial, da função logarítmica natural, do polinômio e da função constante, além da regra da cadeia, que já está aplicada em algumas fórmulas:

(e^(f (x)))^' = e^(f (x)) * f ( x ) '

(ln (f (x)))^' = (1)/(f (x)) * f ( x ) '

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(c)^' = 0

y^' = f^' (g (x)) * g ' (x)

Passo 2

Com a primeira vamos usar a regra da função exponencial e do polinômio:

(e^(- x^2))^' = e^(- x^2) * (- x^2)^' = e^(- x^2) * (- 2 x^(2 - 1)) = e^(- x^2) * (- 2 x) = - 2 x e^(- x^2)

Já com a segunda usamos a regra da função logarítmica natural, da função constante e a do polinômio:

(ln (2 x + 1))^' = (1)/(2 x + 1) * (2 x + 1)^' = (1)/(2 x + 1) * (2 x^(1 - 1) + 0) = (1)/(2 x + 1) * (2 x^0) = (1)/(2 x + 1) * (2 * 1) = (2)/(2 x + 1)

Passo 3

Pronto, agora é só substituir na expressão:

f^' (x) = (e^(- x^2))^' + (ln (2 x + 1))^' = - 2 x e^(- x^2) + (2)/(2 x + 1)

Resposta

f^' (x) = - 2 x e^(- x^2) + (2)/(2 x + 1)

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