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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 4n

Derive.

y = ln (x + sqrt(x^2 + 1))

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra da cadeia:

f^' (x) = f^' (g (x)) * g ' (x)

Temos que g (x) é a função mais de dentro e f (x) a função mais de fora:

u = g (x) = x + sqrt(x^2 + 1)

f (u) = ln u

Assim temos então que:

y^' = f^' (g (x)) * g^' (x) = (ln u)^' * (x + sqrt(x^2 + 1))^'

Passo 2

Vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função constante, da função logarítmica natural e do polinômio:

(c)^' = 0

(ln (f (x)))^' = (1)/(f (x)) * f ( x ) '

(x^n)^' = n x^(n - 1)

Passo 3

Primeiro vamos calcular f^' (g (x)) :

f^' (g (x)) = (ln u)^' = (1)/(u) * (u)^' = (1)/(u) * u^(1 - 1) = (1)/(u) * u^0 = (1)/(u) * 1 = (1)/(u)

Agora para g^' (x) :

g^' (x) = (x + sqrt(x^2 + 1))^' = (x)^' + (sqrt(x^2 + 1))^' = (x)^' + ((x^2 + 1)^((1)/(2)))^' = x^(1 - 1) + (1)/(2) (x^2 + 1)^((1)/(2) - 1) * (x^2 + 1)^' = x^0 + (1)/(2) (x^2 + 1)^(- (1)/(2)) * (2 x + 0) = 1 + (1)/(2 sqrt(x^2 + 1)) * (2 x) = 1 + (x)/(sqrt(x^2 + 1))

Passo 4

Pronto, agora é só substituir na expressão:

y^' = (ln u)^' * (x + sqrt(x^2 + 1))^' = (1)/(u) * (1 + (x)/(sqrt(x^2 + 1)))

E por último é só substituir de volta a substituição que fizemos com u :

y^' = (1)/(u) * (1 + (x)/(sqrt(x^2 + 1))) = (1)/(x + sqrt(x^2 + 1)) * (1 + (x)/(sqrt(x^2 + 1)))

Resposta

y^' = (1)/(x + sqrt(x^2 + 1)) * (1 + (x)/(sqrt(x^2 + 1)))

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