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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.9 - Ex. 7a

Seja A = { ( x , y ) in R |x^4 <= y) <= 1 }

Calcule o centro de massa de A

Passo 1

Primeiro, vamos pegar a primeira região e isolar o y

y = g (x) = 1 y = f ( x ) = x^4

Agora é só substituir nas fórmulas de centro de massa. Os limites de integração são dados pelas interseções entre as funções, ou seja, [-1,1]

Para x_c

x_c = (int_a^b x [ f (x) - g (x) ] d x)/(int_a^b f (x) - g ( x ) d x)

x_c = (int_(- 1)^1 x ( x^4 - 1 ) d x)/(int_(- 1)^1 x^4 d x) x_c = 0

Resolvendo essas integrais, temos que x_c = 0

Passo 2

Para y_c

y_c = ((1)/(2) int_a^b ( f (x) - g (x) ) ( f (x) + g (x) ) d x)/(int_a^b [ f (x) - g ( x ) ] d x)

y_c = ((1)/(2) int_(- 1)^1 ( x^4 )^2 - 1^2 d x)/(int_(- 1)^1 x^4 - 1 d x)

Resolvendo essas integrais, temos que y_c = (5)/(9)

Resposta

x_c = 0

y_c = (5)/(9)

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