Derive.

y = raiz(x^2 + e^(raiz(x)))

Passo 1

Primeiro vamos manipular um pouco a expressão:

y = x 2 + e x = x 2 + e x 1 2 1 2

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra da cadeia:

f ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Temos que g x é a função mais de dentro e f x a função mais de fora:

u = g x = x 2 + e x 1 2

f u = u 1 2

Assim temos então que:

y ' = f ' g x ⋅ g ' x = u 1 2 ' ⋅ x 2 + e x 1 2 '

Passo 2

Vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função exponencial e do polinômio:

e f x ' = e f x ⋅ f ( x ) '

x n ' = n x n - 1

Passo 3

Primeiro vamos calcular f ' g x :

f ' g x = u 1 2 ' = 1 2 u 1 2 - 1 = 1 2 u - 1 2 = 1 2 u

Agora para g ' x :

g ' x = x 2 + e x 1 2 ' = x 2 ' + e x 1 2 = 2 x 2 - 1 + e x 1 2 ⋅ x 1 2 ' = 2 x + e x 1 2 ⋅ 1 2 x 1 2 - 1 = 2 x + e x 1 2 ⋅ 1 2 x - 1 2 = 2 x + e x ⋅ 1 2 x = 2 x + e x 2 x

Passo 4

Pronto, agora é só substituir na expressão:

y ' = u 1 2 ' ⋅ x 2 + e x 1 2 ' = 1 2 u ⋅ 2 x + e x 2 x

E por último é só substituir de volta a substituição que fizemos com u :

y ' = 1 2 u ⋅ 2 x + e x 2 x = 1 2 x 2 + e x ⋅ 2 x + e x 2 x = 2 x + e x 2 x 2 x 2 + e x = 4 x x + e x 2 x 2 x 2 + e x = 4 x x + e x 2 x ⋅ 1 2 x 2 + e x = 4 x x + e x 4 x 3 + x e x

Resposta

y ' = 4 x x + e x 4 x 3 + x e x

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