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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 4o

Derive.

y = sqrt(x^2 + e^(sqrt(x)))

Passo 1

Primeiro vamos manipular um pouco a expressão:

y = sqrt(x^2 + e^(sqrt(x))) = (x^2 + e^(x^((1)/(2))))^((1)/(2))

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra da cadeia:

f^' (x) = f^' (g (x)) * g ' (x)

Temos que g (x) é a função mais de dentro e f (x) a função mais de fora:

u = g (x) = x^2 + e^(x^((1)/(2)))

f (u) = u^((1)/(2))

Assim temos então que:

y^' = f^' (g (x)) * g^' (x) = (u^((1)/(2)))^' * (x^2 + e^(x^((1)/(2))))^'

Passo 2

Vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função exponencial e do polinômio:

(e^(f (x)))^' = e^(f (x)) * f ( x ) '

(x^n)^' = n x^(n - 1)

Passo 3

Primeiro vamos calcular f^' (g (x)) :

f^' (g (x)) = (u^((1)/(2)))^' = (1)/(2) u^((1)/(2) - 1) = (1)/(2) u^(- (1)/(2)) = (1)/(2 sqrt(u))

Agora para g^' (x) :

g^' (x) = (x^2 + e^(x^((1)/(2))))^' = (x^2)^' + (e^(x^((1)/(2)))) = 2 x^(2 - 1) + e^(x^((1)/(2))) * (x^((1)/(2)))^' = 2 x + e^(x^((1)/(2))) * (1)/(2) x^((1)/(2) - 1) = 2 x + e^(x^((1)/(2))) * (1)/(2) x^(- (1)/(2)) = 2 x + e^(sqrt(x)) * (1)/(2 sqrt(x)) = 2 x + (e^(sqrt(x)))/(2 sqrt(x))

Passo 4

Pronto, agora é só substituir na expressão:

y^' = (u^((1)/(2)))^' * (x^2 + e^(x^((1)/(2))))^' = (1)/(2 sqrt(u)) * (2 x + (e^(sqrt(x)))/(2 sqrt(x)))

E por último é só substituir de volta a substituição que fizemos com u :

y^' = (1)/(2 sqrt(u)) * (2 x + (e^(sqrt(x)))/(2 sqrt(x))) = (1)/(2 sqrt(x^2 + e^(sqrt(x)))) * (2 x + (e^(sqrt(x)))/(2 sqrt(x))) = (2 x + (e^(sqrt(x)))/(2 sqrt(x)))/(2 sqrt(x^2 + e^(sqrt(x)))) = ((4 x sqrt(x) + e^(sqrt(x)))/(2 sqrt(x)))/(2 sqrt(x^2 + e^(sqrt(x)))) = (4 x sqrt(x) + e^(sqrt(x)))/(2 sqrt(x)) * (1)/(2 sqrt(x^2 + e^(sqrt(x)))) = (4 x sqrt(x) + e^(sqrt(x)))/(4 sqrt(x^3 + x e^(sqrt(x))))

Resposta

y^' = (4 x sqrt(x) + e^(sqrt(x)))/(4 sqrt(x^3 + x e^(sqrt(x))))

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