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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.6 - Ex. 58

Nos Exercícios 51-70, determine (d y)/(d t) .

58. y = ( e^(s e n (t)/(2)) )^3

Passo 1

Reescrevendo a função y de outra forma, teremos:

y = e^(3 . s e n (t)/(2))

De ínicio, galera, precisamos lembrar de como derivamos uma função exponencial, belê? Para derivarmos uma função exponencial, a relação é essa aqui:

(a^(f (t)))^' = a^(f (t)) . ln a . ( f ( t ) ) '

Sendo assim, a única coisa que precisamos determinar então é ( f ( t ) ) ' . No nosso caso, temos que:

f (t) = 3 . s e n (t)/(2)

Passo 2

Então guys, para derivarmos essa função f , basta que utilizemos a regra da cadeia que, nesse caso, se mostra bem tranquila. Se liga como vai ficar f ' :

(f (t))^' = 3 . cos ( (t)/(2) ) . ( (t)/(2) ) '

:. (f (t))^' = (3)/(2) . cos ( (t)/(2) )

Passo 3

Agora que temos tudo que precisamos, basta substituirmos lá na regra que comentamos no ínicio, se liga:

(d y)/(d t) = e^(3 . s e n (t)/(2)) . ln e . (3)/(2) . cos ( (t)/(2) )

:. (d y)/(d t) = (3)/(2) . e^(3 . s e n (t)/(2)) . cos ( (t)/(2) )

Resposta

(d y)/(d t) = (3)/(2) . e^(3 . s e n (t)/(2)) . cos ( (t)/(2) )

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