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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.5 - Ex. 39

Nos exercícios de 31 a 42, ache f’(a) para o valor de f’(a).

39. f x = x ⋅ cos ⁡ x + x ⋅ s e n x ;     a = π 4

Passo 1

Para calcular essa derivada, vamos usar a regra do produto.

Regra do produto:

f x ⋅ g x '   = f x   ' ⋅ g x + g x ' ⋅ f x

Passo 2

Derivando:

f ' x = x c o s x ' + ( x s e n x ) '

Passo 3

Para facilitar vamos separar a função em dois termos e depois aplicando a regrado produto em cada um, para depois somá-los:

1 º   t e r m o - x c o s x

2 º   t e r m o - x s e n x

1º - derivada de x c o s x :

x c o s x ' = x ' ⋅ c o s x + c o s x ' ⋅ x

= 1 ⋅ c o s x + - s e n x ⋅ x

= c o s x - x s e n x

2º - Derivada de x s e n x :

x s e n x ' = x ' ⋅ s e n x + s e n x ' ⋅ x

= 1 ⋅ s e n x + c o s x ⋅ x

= s e n x + x c o s x

Juntando os dois resultados obtidos:

f ' x = c o s x - x s e n x + s e n x + x c o s x

Passo 4

Agora vamos calcular f’(a) para a = π 4 :

f ' x = c o s x - x s e n x + s e n x + x c o s x

f ' π 4 = c o s π 4 - π 4 s e n π 4 + s e n π 4 + π 4 c o s π 4

                            = 2 2 - π 4 ⋅ 2 2 + 2 2 + π 4 ⋅ 2 2

                            = 2 2 + 2 2

                            = 2 2 2 = 2

Resposta

f ' π 4 = 2

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