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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.2 - Ex. 9

Derive.

H (u) = ( u - sqrt(u) ) ( u + sqrt(u) )

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! Aqui basicamente teremos que derivar a função dada.

O enunciado nos dá:

H (u) = ( u - sqrt(u) ) ( u + sqrt(u) )

E pede pra a gente derivar! Para isso vamos usar a regra do produto:

f^' (x) = (g (x) h (x))^' = h (x) g^' (x) + g (x) h ' ( x )

Passo 2

Primeiro precisamos “dividir” a nossa função em duas partes que se multiplicam:

H (u) = ( u - sqrt(u) ) ( u + sqrt(u) )

Nesse caso temos:

g (u) = u - sqrt(u)

h (u) = u + sqrt(u)

Vamos derivar cada uma separadamente:

g (u) = u - sqrt(u) = u - u^((1)/(2))

g^' (u) = 1 - (1)/(2) u^((1)/(2) - 1)

g^' (u) = 1 - (1)/(2) u^(- (1)/(2))

Agora h ( u ) :

h (u) = u + sqrt(u) = u + u^((1)/(2))

h^' (u) = 1 + (1)/(2) u^((1)/(2) - 1)

h^' (u) = 1 + (1)/(2) u^(- (1)/(2))

Agora substituímos na regra:

f^' (x) = (g (x) h (x))^' = h (x) g^' (x) + g (x) h ' ( x )

H (u)^' = (u + u^((1)/(2))) (1 - (1)/(2) u^(- (1)/(2))) + (u - u^((1)/(2))) (1 + (1)/(2) u^(- (1)/(2)))

H (u)^' = (u + u^((1)/(2)) - (1)/(2) u^((1)/(2)) - (1)/(2)) + (u - u^((1)/(2)) + (1)/(2) u^((1)/(2)) - (1)/(2))

Temos então que:

H^' (u) = 2 u - 1

Prontinho!!

Resposta

H^' (u) = 2 u - 1

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