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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.5 - Ex. 22

Nos Exercícios 19-22, determine d s // d t .

22.

s = (sen t)/(1 - cos t)

Passo 1

Vamos lá, essa é uma questão para quem já engrenou no ritmo, porque ela vai unir derivada de função trigonométrica e divisão de função. Com ela podemos usar os truques de derivação que ajudam muito nossa vida. Vou passo – a – passo pra ninguém se perder no processo. Desta vez vamos usar a regra do quociente. Se lembra dela? Pode deixar, vou botar aqui em baixo. Com o tempo essas regrinhas vão tão comuns na sua vida, que você irá lembrar já de automático.

Então se temos

(d)/(d x) ((f (x))/(g ( x ))) = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' ( x ))/(g^2 ( x ))

É quase igual a do produto, apenas alterando algumas coisinhas. Então, show! Vamos cair dentro do Cálculo. Aplicando a regra de derivação do quociente:

Passo 2

s = (sen t)/(1 - cos t)

(d s)/(d t) = ((1 - cos t) (d)/(d t) (sen t) - (sen t) (d)/(d t) (1 - cos t))/((1 - cos t)^2)

Vamos só lembrar uma coisa rapinha

(d)/(d x) s e n x = cos x

(d)/(d x) cos x = - s e n x

Belezinha, só com isso já podemos resolver tudo

(d s)/(d t) = ((1 - cos t) ( cos t ) - (sen t) (0 - ( - s e n x )))/((1 - cos t)^2)

(d s)/(d t) = (cos t - cos^2 t - sen^2 t)/((1 - cos t)^2)

(d s)/(d t) = (cos t - ( cos^2 t + sen^2 t ))/((1 - cos t)^2)

Agora temos mais um truque na manga

sen^2 x + cos^2 x = 1

podemos reescrever:

(d s)/(d t) = (cos t - 1)/((1 - cos t)^2)

(d s)/(d t) = (- (1 - cos t))/((1 - cos t)^2)

Cortando em cima e em baixo:

(d s)/(d t) = (- 1)/(1 - cos t)

(d s)/(d t) = (1)/(cos t - 1)

Todo cálculo de função trigonométrica tem algum “Ás na Manga” que pode nos salvar. E não é mágica. A partir do momento que você pega mais intimidade com as identidades trigonométricas, fazer essas substituições serão bem naturais. A gente em geral usa mais esse três aqui

sen^2 x + cos^2 x = 1

s e n 2 x = 2 s e n x cos x

cos 2 x = cos ² x - s e n^2

Sabendo só isso nossa vida já fica 1000x mais fácil. Terminamos por aqui, te vejo no próximo exercício. 😊

Resposta

(d s)/(d t) = (1)/(cos t - 1)

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Derive. y = 1 t 3 + 2 t 2 - 1
Derive.y = (t^3 + 3 t)/(t^2 - 4 t + 3)
Derive a função: f t = 2 t 4 - t ² ²